【正文】 α3 ， α2， α3， α4 （ ） ，則該向量組 ( ) a≠1時線性無關(guān) a≠1且 ≠2 時線性無關(guān) 線性相關(guān)，則 a 的值為 ( ) γi（ i=1， 2， …n ）因為有 0γ1+0γ2+…+0γ n=0，則 γ1， γ2， … ， γn是 ( )向量組 A， B 是兩個同階的上三角矩陣，那么 AT ( ) 、 x2是 AX=0 的兩不對應(yīng)成比例的解，其中 A 為 n 階方陣，則基礎(chǔ)解系中向量個數(shù)為 ( )。 ,λ2都是 n 階矩陣 A 的特征值， λ1≠λ2，且 x1與 x2分別是對應(yīng)于 λ1與 λ2的特征向量，當 ( )時， x=k1x1+k2 x2 必是 A 的特征向量。 《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》 綜合測驗題庫 一、單項選擇題 n 階實對稱陣 A 為正定的是 ( ) 沒有負的特征值 的正慣性指數(shù)等于 n 合同于單位陣 次型 f（ x1,x2,x3） = x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3， 下列說法正確的是 ( ) 1 2 f=XTAX， g=XTBX 是兩個 n 元正定二次型，則 ( )未必是正定二次型。 =0 且 k2=0 ≠0且 k2≠0 2 個 1 個 有非 0 解，則 k=( ) A 是 m 行 n 列矩陣， r(A)=r，則下列正確的是 ( ) =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)可能為 nr =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)不可能為 nr =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)一定為 nr =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)為不確定 β1， β2為 的解向量， α1， α2為對應(yīng)齊次方程組的解，則 ( )。B T是 ( )矩陣。 51. A， B， C 是 n 階方陣，下列各式中未必成立的是 ( )。 0，則方程組必有無窮多解 0，則方程組只有零解 0，則方程組必有惟一解 0，則方程組必有零解 =（ ）。 D 中的第二列元素依次為 1， 2， 3，它們的余子式分別為 1， 1， 2， D 的值為（ ） 中元素 g 的代數(shù)余子式的值為（ ）。 的值等于（ ）。 事實上，一個矩陣沒有負的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。 4. 正確答案： D 答案解析： ∵ A、 B 正定 ∴ 對任何元素不全為 零的向量 X 永遠有 XTAX＞ 0；同時 XTBX＞ 0。 6. 正確答案： C 答案解析： A 的正慣性指數(shù)為 t，負慣性指數(shù)為 rt，因此符號差等于 2tr。 9. 正確答案： D 答案解析： ∵ C 是正交陣，所以 CT=C1,B= C1AC，因此 A 與 B 相似， A 對。 10. 正確答案： B 答案解析：屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是 1，但它有 n 個線性無關(guān)的特征向量，因此應(yīng)選擇 B。 14. 正確答案： A 答案解析：設(shè) A 的特征值是 λ，則 f（ A）的特征值就是 f（ λ），把 1,0,1 依次代入，得到 3， 1， 1。 18. 正確答案： A 答案解析： 得到特征值是 1， 1。系數(shù)矩陣 A= ，第一列乘以 2 加到第二列，第一列乘以 3 加到第三列，得 ，第二列乘以 3 加到第三列上，得，因此 r（ A） =3，系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)，因此方程組只有零解，選 C。 34. 正確答案： A 答案解析：根據(jù)線性無關(guān)組的加 長向量組也無關(guān) . 35. 正確答案： A 答案解析：系數(shù)行列式等于 2，判斷出是線性無關(guān)的，所以選 A ： A 答案解析：首先排除 C，因為向量不可能線性相關(guān)又線性無關(guān) ,只能是相關(guān)或者無關(guān) .再根據(jù)教材 91 頁兩個重要結(jié)論得出本題答案為 A 37. 正確答案： B 答案解析： 假定（ 1， 1） =λ1（ 1， 0） +λ2（ 2， 0） ,可以知道解不出 λ1和 λ2 38. 正確答案： A 答案解析： 假定（ 4， 0） =λ1（ 1， 2） +λ2（ 3， 2） +λ3（ 6， 4） =（ λ1， 2λ1） +（ 3λ2， 2λ2） +（ 6λ3， 4λ3） =（ λ1+3λ2+6λ3， 2λ1+2λ2+4λ3） 可得方程組： 因此，第一個向量是其余向量的線性組合，而且表示不唯一，它的表示式可為： （ 4， 0） =（ 1， 2） （ 3， 2） +（ 6， 4） 或 （ 4， 0） =（ 1， 2） +（ 3， 2） +0 43. 正確答案： B 答案解析：不妨將每個向量看成是列向量，設(shè) A=（ α1,…, α s） B=（ β1,…, β t），則分塊陣（ A， B）的秩就是 r3，因為 r（ A,B） ≤r（ A） + r（ B），故 r3≤ r1+ r2,即 r3 r1≤r2，應(yīng)該選擇 B。 51. 正確答案： D 答案解析： 52. 正確答案： A 答案解析：矩陣的乘法一般不滿足交換律。 55. 正確答案： C 答案解析： 56. 正確答案： D 答案解析：因為 A， B 為對稱矩陣，即 AT=A， BT=B。 86. 正確答案： D 答案解析：應(yīng)該是當向量個數(shù)大于維數(shù)時，向量組必線性相關(guān) . 87. 正確答案： C 答案解析：秩為 s 可以知道該向量組是線性無關(guān)的，又 因為向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其中存在一個向量能由其余向量線性表示 .故答案為 C. 88. 正確答案： A 答案解析：向量組的線性相關(guān)性的判別 89. 正確答案： D 答案解析：向量組的秩的概念 90. 正確答案： C 答案解析： 91. 正確答案： B 答案解析： 92. 正確答案： B 答案解析：因為 β可由向量 線性表示，則 β的第二個分量必為 0，故只可能為 B. 93. 正確答案： D 答案解析：向量組 α1=（ 1， 0）， α2=（ 2， 0）雖都不為零向量，但線性相關(guān) . 向量組 α1=（ 1， 0）， α2=（ 0， 1）， α3=（ 1， 1）中任意兩個向量不成比例，但線性相關(guān) .且此向量組中任意兩個向量都線性無關(guān)，故 A， B， C 都不對 .因為向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其中存在一個向量能由其余向量線性表示 .故答案為 D. 94. 正確答案： A 答案解析： 95. 正確答案： B 答案解析： 96. 正確答案： A 答案解析：矩陣運算的定義；行列式的性質(zhì)，特別是︱ λA︱ =λn︱ A︱ . 97. 正確答案： D 答案解析：矩陣秩的概念，請參看教材 P70. 98. 正確答案： B 答案解析：矩陣等價的概念；等價矩陣有相等的秩；反之同型的兩個矩陣只要 其秩相等，必等價 .因為 A， C