常微分方程第二章練習(xí)與答案-wenkub
2023-01-25 04:15:41 本頁面
【正文】 解，將其代入方程則有 解：設(shè)方程有形如 ?? ? dxxpexcy )()( 的解，將其代入方程則有 ??? dxxpedxxdc )()( ??? dxxpexpxc )()()( )()()( )( xqexpxc dxxp ??? 即 )()( )( xqedxxdc dxxp ??? ， 則 cexqxc dxxp ??? ? )()()( ， 所以方程的解為 ?? ? dxxpey )( ))(( )( cexq dxxp ??? . 5. 考慮方程 )()( xqyxpdxdy ?? ，其中 )(xp 和 )(xq 都是以 0?? 為周期的連續(xù)函數(shù)． 試證：（１）若 0)( ?xq ，則方程的任一非零解以 ? 為周期 ? )(xp 的平均值 ? ?? ?? 0 0)(1 dxxpp ． （２）若 0)( ?xq ，則方程的有唯一的 ? 周期解 ? 0?p ．試求出此解． 證明：（１）設(shè) )(xy ?? 是方程的任一非零解 則 ,0 )(??? xx dxxpcey 且 ,0 )(?? ??? wxx dxwxpcey 也是解 ? ??xx dxxpe 0 )( ,0 )(?? ??? wxx dxwxpe ?? ???? wxx dxxpxx dxxp ee )(0 )( 10 )( ?? ?? dxxpe ? ?? ?0 0)( dxxp (2) 方程的通解為 ?? ?? x dxxpcey 0 )( ? ??x dttpxsesq0 )()( 選擇常數(shù) c使 )(xy 成為 ? 周期函數(shù)，即 )()( xywxy ?? （ *） 我們先來證明，要使（ *）對所有 x 成立，其實只需對某一特定 x （例如 0?x ）成立 ,即只需 )0()( yy ?? .事實上，由于 )(xy 是方程的解， 且 )()( xpwxp ?? )()( xqwxq ?? ， 所以 )( wxy ? 也是解 . 因此，函數(shù) )()()( xywxyxu ??? 是相應(yīng)齊次方程 0)( ??? yxpy 滿足 初始條件 0)0( ?y 的解。習(xí) 題 ２ １ 判斷下列方程是否為恰當(dāng)方程，并且對恰當(dāng)方程求解： １． 0)12()13( 2 ???? dyxdxx 解： 13),( 2 ?? xyxP ， 12),( ?? xyxQ ， 則 0???yP， 2???xQ ， 所以 xQyP ????? 即 原方程不是恰當(dāng)方程． ２． 0)2()2( ???? dyyxdxyx 解： ,2),( yxyxP ?? ,2),( yxyxQ ?? 則 ,2???yP ,2???xQ 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0)22( ???? y d yx d yy d xx d x 兩邊積分得： .222 22 Cyxyx ??? 3． 0)()( ???? dycybxdxbyax （ a,b 和 c為常數(shù)）． 解： ,),( byaxyxP ?? ,),( cybxyxQ ?? 則 ,byP??? ,bxQ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0???? c y d yb x d yb y d xa x d x 兩邊積分得： .22 22 Ccybx yax ??? 4． )0(0)()( ????? bdycybxdxbyax 解： ,),( byaxyxP ?? ,),( cybxyxQ ?? 則 ,byP ???? ,bxQ??? 因為 0?b , 所以xQyP ?????，即 原方程不為恰當(dāng)方程 ５． 0s in2c o s)1( 2 ??? u d ttu d ut 解： ,c o s)1(),( 2 ututP ?? ututQ sin2),( ? 則 ,cos2 uttP ??? ,cos2 utxQ ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0c o s)s i n2c o s( 2 ??? uduudttudut 兩邊積分得： .sin)1( 2 Cut ?? ６． 0)2()2( 2 ????? dyxyedxyeye xxx 解： xyeyxQyeyeyxP xxx 2),(,2,( 2 ????? ， 則 ,2yeyP x ???? ,2yexQ x ???? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0])2()[(2 2 ????? dyxyedxyyedxe xxx 兩邊積分得： .)2( 2 Cxyey x ??? ７． 0)2(l n)( 2 ???? dyyxdx
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