【高中數(shù)學(xué)】基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)解析-wenkub
2023-01-22 21:02:46 本頁面
【正文】 )(1 yfx ?? ，習(xí)慣上記為 )(1 xfy ?? ．在同一坐標(biāo)系，函數(shù) )(xfy? 與它的反函數(shù) )(1 xfy ?? 的圖象關(guān)于 xy? 對(duì)稱． [注 ]：一般地， 3)f(x3)(xf 1 ???? 的反函數(shù)． 3)(xf 1 ?? 是先 f(x) 的反函數(shù)，在左移三個(gè)單位． 3)f(x? 是先左移三個(gè)單位，在 )f(x 的反函數(shù)． 4． （ 1） 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但并非反函數(shù)存在時(shí)一定是單調(diào)的．因此，所有偶函數(shù)不存在反函數(shù)． （ 2） 如果一個(gè)函數(shù)有反函數(shù)且為奇函數(shù)，那么它的反函數(shù)也為奇函數(shù)． （ 3） 設(shè)函數(shù) y = f（ x）定義域，值域分別為 X、 Y．如果 y = f（ x）在 X 上是增（減）函數(shù)， 那么反函數(shù) )(1xfy ?? 在 Y 上一定是增（減）函數(shù)，即互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)增減性相同． 本卷第 3 頁（ 共 52 頁） （ 4） 一般地，如果函數(shù) )(xfy? 有反函數(shù)，且 baf ?)( ，那么 abf ?? )(1 ．這就是說點(diǎn)（ ba, ）在函數(shù) )(xfy? 圖象上，那么點(diǎn)（ ab, ）在函數(shù) )(1 xfy ?? 的圖象上． 5．指數(shù)函數(shù)： xay? （ 1,0 ?aa? ），定義域 R，值域?yàn)椋???,0 ）． （ 1） ① 當(dāng) 1?a ，指數(shù)函數(shù)： xay? 在定義域上為增函數(shù)； ② 當(dāng) 10 ??a ，指數(shù)函數(shù)： xay? 在定義域上為減函數(shù)． （ 2） 當(dāng) 1?a 時(shí)， xay? 的 a 值越大，越靠近 y 軸；當(dāng) 10 ??a 時(shí)，則相反． 6．對(duì)數(shù)函數(shù)：如果 a （ 1,0 ?aa? ）的 b 次冪 等于 N ，就是 Nab? ，數(shù) b 就叫做以 a 為底的 N的對(duì)數(shù)，記作 bNa ?log （ 1,0 ?aa? ，負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)）；其中 a 叫底數(shù)， N 叫真數(shù)． （ 1） 對(duì)數(shù)運(yùn)算： ? ?1 2 1 1( 1 )12 )l og23l og ( ) l og l og l og l og l og1l og l og l og l ogl ogl ogl ogl og l og l og 1l og l og ... l og l ogana a a a a an na a a aN baba b ca a a n a nMM N M N M NNM n M M MnNa N Nab c aa a a a?? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? ?換 底 公 式 ：推 論 ： （以上 1 2 nM 0 ,N 0 ,a 0 ,a 1 ,b 0 ,b 1 ,c 0 ,c 1 ,a ,a .. .a 0 , 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且） 注意 1：當(dāng) ,0ab? 時(shí)， )lo g ()lo g ()lo g ( baba ????? ． 注意 2：當(dāng) 0M? 時(shí)，取 ―+‖，當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)且 0?M 時(shí)， 0?nM ，而 0?M ，故取―—‖．例 如： xxx aaa lo g2(lo g2lo g 2 ?? 中 x＞ 0 而 2loga 中 x∈ R）． （ 2） xay? （ 1,0 ?aa? ）與 xy alog? 互為反函數(shù)． 當(dāng) 1?a 時(shí)， xy alog? 的 a 值越大，越靠近 x 軸；當(dāng) 10 ??a 時(shí)，則相反． 7．奇函數(shù)，偶函數(shù)： （ 1） 偶函數(shù)： )()( xfxf ?? 設(shè)（ ba, ）為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則（ ba,? ）也是圖象上一點(diǎn)． 偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足 ▲ yxO1y =a x a ＞ 1y =a x a 1＜＜0本卷第 4 頁（ 共 52 頁） ① 定義域一定要關(guān)于 y 軸對(duì)稱，例如： 12??xy 在 )1,1[? 上不是偶函數(shù)． ② 滿足 )()( xfxf ?? ，或 0)()( ??? xfxf ，若 0)( ?xf 時(shí)， 1)( )( ??xf xf． （ 2） 奇函數(shù)： )()( xfxf ??? 設(shè)（ ba, ）為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則（ ba??, ）也是圖象上一點(diǎn)． 奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿 足 ① 定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如： 3xy? 在 )1,1[? 上不是奇函數(shù)． ② 滿足 )()( xfxf ??? ，或 0)()( ??? xfxf ，若 0)( ?xf 時(shí)， 1)( )( ???xf xf． 8．對(duì)稱變換： ① y = f（ x） ）（軸對(duì)稱 xfyy ????? ?? ② y =f（ x） ）（軸對(duì)稱 xfyx ????? ?? ③ y =f（ x） ）（原點(diǎn)對(duì)稱 xfy ?????? ?? 9．判斷函數(shù)單調(diào)性（定義）作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如： 2 2 2 2 1 2 1 21 2 1 22 2 2 21()( ) ( )xx x x xf x f x x b x b x b x b??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 再進(jìn)行討論． 10．外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域． 例如：已知函數(shù) f（ x） = 1+ xx?1 的定義域?yàn)?A，函數(shù) f[f（ x） ]的定義域是 B，則集合 A與集合 B 之間的關(guān)系是 ． 解： )(xf 的值域是 ))(( xff 的定義域 B ， )(xf 的值域 R? ，故 RB? ，而 A ? ?1| ?? xx ，故 AB? ． 11．常用變換： ①)( )()()()()( yf xfyxfyfxfyxf ?????． 證： )()(])[()()( )()( yfyxfyyxfxfxf yfyxf ???????? ② )()()()()()( yfxfyxfyfxfyxf ?????? 證： )()()()( yfyxfyyxfxf ???? 12． （ 1） 熟悉常用函數(shù)圖象： 本卷第 5 頁（ 共 52 頁） 例： ||2xy? → ||x 關(guān)于 y 軸對(duì)稱． |2|21????????xy → ||21xy ???????→ |2|21????????xy ▲xy ▲xy(0,1)▲xy(2,1) |122| 2 ??? xxy
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