111正弦定理(二)學案人教b版必修5-wenkub
2022-12-09 21:33:46 本頁面
【正文】 1． 正弦定理 (二 ) 知識梳理 1． (1)a∶ b∶ c (2)2R (3)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (4) a2R b2R c2R C 12bcsin A 12casin B a＋ b－ c2 自主探究 證明 (1)在 △ ABC中，由大角對大邊定理 AB? ab? 2Rsin A2Rsin B? sin Asin B. (2)在 △ ABC中 ， 由正弦定理 sin Asin B? a2R b2R? ab? AB. 對點講練 例 1 解 ∵ tan B＝ 120， ∴ B 為銳角 ． ∴ sin B＝ 55 ， cos B＝ 2 55 . ∵ tan C＝－ 2， ∴ C 為鈍角 ． ∴ sin C＝ 2 55 ， cos C＝－ 55 . ∴ sin A＝ sin(B＋ C)＝ sin Bcos C＋ cos Bsin C ＝ 55 ?? ??－ 55 ＋ 2 55 2 55 ＝ 35. ∵ S△ ABC＝ 12absin C＝ 2R2sin Asin Bsin C ＝ 2R2 35 55 2 55 ＝ 1. ∴ R2＝ 2512， R＝ 5 36 .∴ πR2＝ 2512π，即外接圓面積為 2512π. ∴ a＝ 2Rsin A＝ 3， b＝ 2Rsin B＝ 153 ， c＝ 2Rsin C＝ 2 153 . 變式訓練 1 A [設三角形外接圓半徑為 R， 則由 πR2＝ π， ∴ R＝ 1，由 S△ ＝ 12absin C＝ abc4R＝ abc4 ＝ 14， ∴ abc＝ 1.] 例 2 證明 因為 asin A＝ bsin B＝ csin C＝ 2R，所以 左邊＝ 2Rsin A－ 2Rsin Ccos B2Rsin B－ 2Rsin Ccos A＝ sin?B＋ C?－ sin Ccos Bsin?A＋ C?－ sin Ccos A ＝ sin Bcos Csin Acos C＝ sin Bsin A＝右邊 ． 所以等式成立 ． 變式訓練 2 證明 左邊＝ 4R2sin2 A(2Rsin B) cos A－ cos 120176。.] 6． 2 3 解析 ∵ cos C＝ 13， ∴ sin C＝ 2 23 ， ∴ 12absin C＝ 4 3， ∴ b＝ 2 3. 7. 102 解析 ∵ tan A＝ 13， A∈ (0,180176。 由????? a2＋ b2＝ 102ba＝43，得 a＝ 6， b＝ 8. 故內切圓的半徑為 r＝ a＋ b－ c2 ＝ 6＋ 8－ 102 ＝ 2. 10． 解 因為 c
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