淺談均值不等式在生活中的應(yīng)用價(jià)值-wenkub
2023-05-27 15:17:14 本頁(yè)面
【正文】 以被均值不等式所征服 .生活中有很多這樣的問(wèn)題都可以用均值不等式來(lái)解決，主要體現(xiàn)在度量方面、造價(jià)銷(xiāo)售方面、決策判斷方面、足球射門(mén)方面，比如怎么合理地使用已知的材料去獲得最大的需求，或者給出已知的要求怎么安排才能讓使用材料最少，主要有關(guān)于度量、造價(jià)和銷(xiāo)售方面的問(wèn)題 . （一）應(yīng)用均值不等式解決度量類(lèi)問(wèn)題 隨著地球上人口越來(lái)越多，諸多的徒弟問(wèn)題也接踵而來(lái)，如住房問(wèn)題、資源問(wèn)題等，怎樣省錢(qián)，怎樣合理的利用資源是當(dāng)今要解決的問(wèn)題。)2(43 hhhR ?? 3)3 222(3 hhhR ????? 32738 R? , 圖 1 當(dāng)且僅當(dāng) 22 hhR ?? ，即 34Rh? 時(shí)， ABCPV? 取最 大值32738 R . 因此這個(gè)工藝品的最大體積值為 32738 R . 毫無(wú)疑問(wèn)，本題利用了上述的結(jié)論 3： 如 果 ??Rcba , ，那么 33 abccba ??? ， 當(dāng)O 1BDACP大學(xué)數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 4 頁(yè)（共 10 頁(yè)） 且僅當(dāng) cba ?? 時(shí)，等號(hào)成立 .不同的是，本題是三元的均值不等式，將 33 abccba ???兩邊同時(shí)立方，就得到 3)3( cbaabc ???，所 以本題能輕松的求出正三棱錐的體積最大值 . 例 2 一段長(zhǎng)為 m36 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各位多少時(shí)，菜園的面積最大？最大的面積是多少？ 解 設(shè)垂直于墻的一邊為 xm ，則平行于墻的一邊為 mx)236( ? ，其中 180 ??x ,其面積 )236( xxS ??? )236(221 xx ??? 2)2 2362(21 xx ??? 1628362 ?? , 當(dāng)且僅當(dāng) xx 2362 ?? ，即 9?x 時(shí)菜園面積最大， 即菜園平行于墻的一邊為 m18 ，垂直于墻的一邊為 m9 時(shí)，菜園面積最大值為 2162m . （二）應(yīng)用均值不等式解決造價(jià)費(fèi)用問(wèn)題 例 3 某工廠(chǎng)要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為 34800m ，深為 m3 ，如果池底每 21m 的造價(jià)為 150元，池壁每 21m 的造價(jià)為 120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元？ 解 設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為 xm ，則另一邊的長(zhǎng)度為 mx34800 ，又設(shè)水池的總造價(jià)為 l元，根據(jù)題意，得 )16 00(24 00 00 xxl ??? xx 16002720240000 ???? 297 600 402720240 000? ???? 當(dāng) xx 1600? ，即 40?x 時(shí)， l 有最小值 297600 . 因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為 m40 的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元 . 本題利用 ),(2 ???? Rbaabba 這個(gè)不等式，簡(jiǎn)潔方便，清晰明了 . 例 4 某工廠(chǎng)購(gòu)買(mǎi)某種設(shè)備時(shí)費(fèi)用為 10萬(wàn)元 ,每年的設(shè)備運(yùn)營(yíng)費(fèi)為 9 千元 ,設(shè)備的維修大學(xué)數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 5 頁(yè)（共 10 頁(yè)） 費(fèi)為第一年 2 千元 ,第二年 4 千元??依每年 2 千元遞增 ,問(wèn)該設(shè)備使用多少年報(bào)廢最合算 ?(使用多少年平均費(fèi)用最少 ). 解 設(shè)該設(shè)備使用 x 年報(bào)廢，前 x年的平均費(fèi)用為 y 萬(wàn)元 . 由題知，每年的使用費(fèi)及維修費(fèi)總和構(gòu)成首項(xiàng)為 公差為 的等差數(shù)列，有等差數(shù)列求和公式得，前 x 年的總使用費(fèi)及維修費(fèi)為 xx ? 元， 則前 x 年的平均費(fèi)用為 )0( 2 ???????????xxxxxx xxy 當(dāng)且僅當(dāng) xx ? 即 10?x 時(shí)， 3min?y . 因此，該設(shè)備使用 10年報(bào)廢最合算 . 在這個(gè)解題過(guò)程中，除了應(yīng)用等差數(shù)列求和的有關(guān)知識(shí)，還應(yīng)用了均值不等式求最值，即 abba 2?? . 例 5 圍建一個(gè)面積為 2360m 的矩形場(chǎng)地，要求
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