淺談均值不等式在生活中的應用價值(已修改)
2025-06-09 15:17 本頁面
【正文】 大學數學 畢業(yè)論文 (設計 ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 1 頁（共 10 頁） 淺談均值不等式在生活中的應用價值 [摘 要 ] 均值不等式是數學中一個重要的不等式，它的許多性質對解決數學問題都有很大的幫助，在現實生活中也有著廣泛的應用 .而且形式眾多，主要體現在度量方面、造價銷售方面、決策判斷方面、足球射門等方面，只要我們善于思考，必將發(fā)現均值不等式在生活中有更多更廣的應用價值 . [關鍵詞 ] 均值不等式 平均數 最值 生活 應用 一、引言 均值不等式是數學中一個重要的不等式 .它的許多性質對解決數學問題都有很大的幫助，在現實生活中也有著廣泛的應用 .可以說，均值不等式的發(fā)現、驗 證和應用也是數學文化的精髓所在 .這對于我們來說是一項巨大的財富 .但是我們要注意，求解最值時請一定要注意相等的條件，若多次利用均值不等式求解最值，則必須注意這些不等式等號成立的條件是否一致，只有在一致的條件下才有可能達到最值 . 二、均值不等式的 有關 概念與結論 （一） 幾種平均數的概念 這幾種平均數在高中的課程中就已經有介紹了，分別為 算術平均數、 幾何平均數、調和平均數和 平方平均數 .，它們的定義如下： 定義一：若 naaa , 21 ? 均為正數，我們就稱 n aaa n??? ?21 為 naaa , 21 ? 的算術平均數 . 定義二： 若 naaa , 21 ? 均為正數，我們就稱 naaa ?21 為 naaa , 21 ? 的幾何平均數 . 定義三：若 naaa , 21 ? 均為正數，我們就稱naaan 11121??? ?為 naaa , 21 ? 的調和平均數 . 定義四 :若 naaa , 21 ? 均為正數，我們就稱n aaa n22221 ??? ? 為 naaa , 21 ? 的平方平均數 . (二 )均值不等式的重要結論 均值不等式是不等式中比較重要的一類不等式，也是應用比較廣的一類不等式，下面將給出一般的結論和常用的結論，以及均值不等式在求最值時實用的定理 .均值不等式在數學中不同的地方有不同的具體形式，但是萬變不離其宗，它們都是有規(guī)律可循的 . 對于上述四種平均數：算術平均數、幾何平均數、調和平均數和平方平均數的大小比大學數學 畢業(yè)論文 (設計 ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 2 頁（共 10 頁） 較，我們有一般的結論： ),(111 2122221212121??????????????Raaan aaan aaaaaaaaannnnn nn?????, 當且僅當 naaa ??? ?21 時，不等式取“ ? ”號，這幾個數依次為調和平均數、幾何平均數、算數平均數、平方平均數 .在實際解題中， 2?n 和 3?n 兩種情況是最常見的，特闡述如下： 當 2?n 時，我們可以得到一個一般的 二元均值不等式 ),(22112212221212121????????Raaaaaaaaaa， 通常寫作 ),(2211 2 22 ???????? Rbababaabba. 但是通常我們用的最多的是上述的變式，如 )1( ),(222 Rbaabba ??? ； )2( 2)2( 222 babaab ???? . 特別地，當且僅當 ba? 時，上述的“ ? ”才成立 . 當 3?n 時，我們可以得到一個一般的三元均值不等式： ),(33111 3 2223 ??????????? Rcbacbacbaabccba，同二元均值不等式一樣，也有變式如下： )1( ),(3333 ????? Rcbaabccba ； )2( ),(3 3 ????? Rcbaa b ccba ； )3( ),()3( 3 ????? Rcbacbaabc . 特別地，當且僅當 cba ?? 時，上述的“ ? ”才成立 . 有上述的一般結論和變式可以推得：當兩個正數的和一定時，其其乘積有最大值；當兩個正數的乘積一定時，其和有最小值，我們稱其為最值定理 . 三、利用均值不等式解決應用性問題 大學數學 畢業(yè)論文 (設計 ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 3 頁（共 10 頁） 生活中經常遇到這樣的問題，如為資源不能合理利用而發(fā)愁，因為不能做出合理的決策而傷腦筋等等問題， 只要我們
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