電大微積分初步考試小抄【最新完整版小抄】(1)-wenkub
2023-06-16 19:13:59 本頁面
【正文】 D. cxx ?? 232 3221 5．以下計(jì)算正確的是（ ） 答案： A A ． 3ln3dd3 xx x? B ． )1(d1 d 22 xxx ??? C． xxx dd ? D． )1d(dln xxx ? 6． ???? xxfx d)( （ ） 答案： A A. cxfxfx ??? )()( B. cxfx ?? )( C. cxfx ?? )(21 2 D. cxfx ??? )()1( 7． ? ? xa xdd 2 =（ ）． 答案： C A． xa2? B． xaa x dln2 2?? C． xa xd2? D． cxa x ?? d2 8．如果等式 ? ??? ?? Cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf （） 答案 B A. x1? B. 21x? C. x1 D. 21x 三、計(jì)算題（每小題 7 分，共 35 分） 1． ? ?? xx xxx dsin3 3 解 cxxxdxxxxxx xxx ????????? ?? c os32ln3)s i n3(ds i n3 233或 32s in 3 l n c o s3x x d x x x x x cx??? ? ? ? ? ?????? 2． xx d)12( 10? ? 解 ? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1 1 11 1 1 12 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2x d x x c x c? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 ． xx xd1sin2? 解 cxxdxdxx x ???? ?? 1c o s)1(1s i n1s i n2 4． ? xxx d2sin 1 1 1 1 1c o s 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2 s in 22 2 2 2 4x d x x x x d x x x x c? ? ? ? ? ? ? ???5． ? ? xxexd 解 ? ?1x x x x x xx d e x e e d x x e e c x e c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 四、極值應(yīng)用題（每小題 12 分，共 24 分） 1． 設(shè)矩形的周長(zhǎng)為 120 厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 ( a1 )=2aa2128 y′ =0 得 2a=a2128 ∴ a3=64 ∴ a=4 ∴底面邊長(zhǎng)為 4， h=1632 =2 設(shè)矩形的周長(zhǎng)為 120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 (x1)′ =2+648 2du= ? udusin2 =2(cos)+c = 2cos c?x ⒋計(jì)算定積分 xx xde210? u=x， v′ =ex,v= ex ∴ ?10uv′ dx=uv xvdu 1010| ?? 1)( 01010101010|||??????????? ??eeeeeeeexdxxdxxxxxxx ∴原式 =2 9152lim 223 ???? x xxx 34353lim)3)(3( )3)(5(3lim ??????? ??? xxxxx xxx xxxy cosln?? ，求 yd 解： xxxy xx c oslnc osln 2321 ????? y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴xxxuxuyc o ss in)s in(1)(c o s)(ln11????????? y1=xxx cossin23 21 ? ∴ dy=(xxx cossin23 21 ?)dx xx d)21( 9? ? 解： dxx? ? )21( 9 令 u=12x , u′ = 2 ∴ dudxxdu 212 ????? ccduduxuuu???????????????20212121)21()21( 101099? xx xde10? ? 解： u=x, ee xx vv ? ?? ??? ， )()(101101010 |xddxxdxxeeeeexxxx????????????????? = 1)11(1|101 ????? ?? eeee x 45 86lim224 ????? xxxxx 3212l im)4)(1( )4)(2(l im 44 ?????? ?? ?? xxxx xx xx xy x 3sin2 ?? ，求 yd y1=sin3x y1=sinu , u=3x , xy 3c os3x3s inu1 ?????? ）（）（ ∴ y′ =2xln2+3cos3x ∴ dy=(2xln2+3cos3x)dx xxx dcos? ? xdxxcos u=x , v′ =cosx , v=sinx ?? ???????cxxxx d xxxx d xx)c o s(s i ns i ns i nc o s xx xdln51e1? ? ?????????eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln1|令 u=lnx, u′ =x1 , du=x1 dx , 1≤ x≤ e 0≤ lnx≤ 1 ∴ 2121ln |102101 ??? ?? uududxx xe ∴原式 =1+5 (2x)′ =eu（ 2） = 2 21 =27 623lim222 ????? xxxxx 解：5131lim)2)(3x( )1)(2(lim 22 ?????? ?? ?? xxxxx xx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy 12 ?? ( ey x11?) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ????????? ) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為 4 3m 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費(fèi) 40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因?yàn)楸締栴}存在最小 值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以 x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。 (1試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。 ? ? ? ?1 , 2 si n 2P x Q x x xx? ? ? ? ?? ?? ?? ?11l n l n 2 si n 2 2 si n 21 2 si n 2 c os 2P x d x P x d xd x d xxxxxy e Q x e d x ce x x e d x ce x x e d x cx x x d x cxx x c???????? ? ???????????????????????? ? ?????? ? ?????通 解 即通解為 ? ?cos 2y x x c? ? ?. 四、證明題（本題 4 分） 證明等式 ?? ???? aa a xxfxfxxf 0 )]()([)( dd。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。 答案： `x2 （ c為任意常數(shù)） 或 2ln 2x x x c?? 2． 若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 。答案： 32 ??? xy 或322 1633yx?? 4．若 ????? dxxx )235(11 3 ． 答案： 2 或 4 5．由定積分的幾何意義知， xxaa d0 22? ?= 。 答案： `x2 （ c為任意常數(shù)）或 2ln 2x x x c?? 2． 若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 。 a232= a2+a2128 y= a2+ a128 , y′ =2a+128 216/x=2x + x648 y′ =2+648 e2x+ x2123)dx ⒊計(jì)算不定積分 xxxdsin? 解：令 u= x21x? ,u′ =xx 2121 21 ?? ∴ dxxdu 21? ∴ ? usin 電大微積分初步考試小抄 一、填空題 ⒈ 函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 （－∞， 5） ． 5－ x ＞ 0 → x ＜ 5 ⒉ ??? xxx1sinlim 1 ． 1s inlim ??? x xx ， 01 ??? xx 時(shí)， ⒊ 已知 xxf 2)( ? ，則 )(xf? = 2ln22 ）（x ． ⒋ 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxf d)32( CxF ?? )32(21 ． ⒌ 微分方程 yxxyyx ??????? es in)( 4 的階數(shù)是 三階 ． ∵ y? )2ln( 1)( ?? xxf的定義域是 （ 2， 1） U（ 1，∞ ) ? ? ? ? ? ?1221ln)2(ln2x02ln02 ????????? xxxxx ，＞，＞，＞ ∴ ? ?1 2x| ?且＞x 7. ?? xxx2sinlim0 2 ． 211212 2s inlim2s inlim 00 ??? ?? x xx x xx 21:22 2sinlim0 ??? xxx y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，則 y? (0) = 6 y=x(x1)(x2)(x3)=(x2x)(x25x+6)=x45x3+6x2x3+5x26x =x46x3+11x26x , 622184y 23x ????? xx ?（把0帶入 X） ,6)0( ????y 9. ?? ? xx ded 2 dxxe? 2 )()( xfdxxf ??? ）（ 或 dxxfdxxfd )())(( ?? 1)0(, ??? yyy 的特解為 y=ex . yy?? ydxdy? ?? ??? dxdydxydy y1兩邊積分 e cxy ??? 又 y(0)=1 (x=0 , y=1) cxy ???ln 01 0 ??? ? ce c， 24)2ln( 1)( xxxf ????的定義域是? ? ? ?2,112 ?， ??????????????????????????????????????122122x21l
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