【正文】 也即：bx?y （ 3）的證明方法 1 因為 Σei=0，所以對 兩邊求和即可。 注意到上述條件只是極小化問題的必要條件，為了判斷充分性，我們需要求出目標函數(shù)的 Hessian矩陣 ： 如果這個 Hessian矩陣是正定的，則可以判斷所得到的解是唯一的最小二乘解。 因為 x是滿秩的（假設 2），所以（ X ‘X） 1存在。X Y即 YXXX 39。 167。 偏回歸系數(shù) bj就是 xj本身變化對 y的直接 （ 凈 ） 影響 。 這是收入對消費額的直接影響 。 諸 ?i稱為 偏回歸系數(shù) （ partial regression coefficients） 。 同方差性和非自相關性。 x與 ?不相關 。即要求模型關于參數(shù)是線性的，關于擾動項是可加的。 設經(jīng)過 n次試驗，得到 n個樣本，如下所示： y1 x11 x12 … x 1 k y2 x21 x22 … x 2 k …… yn x n1 x n2 … x nk 從而得到表達式如下： Yi= xi1?1 + xi2?2 +…+ xik ?k + ?i (2) 其中，式（ 1）稱為總體線性模型；式（ 2）稱為樣本線性模型。 ? 多元線性回歸模型參數(shù)估計的原理與一元線性回歸模型相同，只是計算更為復雜。 ? 從而，我們應不遺余力地學，甚至是不遺余力地背！?。? 本章主要內容 ? 多元線性回歸模型的描述 ? 參數(shù) ?的 OLS估計 ? OLS估計量的有限樣本性質 ? 參數(shù)估計量的方差 協(xié)方差矩陣和隨機誤差項方差 ?2的估計 ? 單方程模型的統(tǒng)計檢驗 ? 多元線性回歸模型實例 167。 多元線性回歸模型的描述 多元線性回歸模型的形式 ? 由于在實際經(jīng)濟問題中，一個變量往往受到多個原因變量的影響； ? “從一般到簡單”的建模思路。 以多元線性回歸模型的一般形式 —— K元線性回歸模型入手進行講解，其模型結構如下： Y= x1?1 + x2?2 +…+ xk ?k + ? (1) 其中， Y是被解釋變量（因變量、相依變量、內生變量）， x是解釋變量（自變量、獨立變量、外生變量）， ?是隨機誤差項， ?i, i = 1, … , k 是回歸參數(shù) 。 在計量經(jīng)濟學分析中，通常會借助矩陣工具，在此亦將多元線性模型表示成矩陣形式，以便于下一步的數(shù)學運算。 （ 2） 滿秩。 （ 4） x的 DGP是外生的。 （ 6） 正態(tài)假設。 在經(jīng)典回歸模型的諸假設下 ， 對 （ 1） 式兩邊求條件期望得 E（ Y|X1,X2,… Xk)= x1?1 + x2?2 +… + xk ?k ?偏回歸系數(shù) 的含義如下： ?1度量著在 X2,X3,…,X k保持不變的情況下， X1每變化 1個單位時， Y的均值 E(Y)的變化，或者說?1給出 X1的單位變化對 Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。 收入變動對消費額的 總影響 =直接影響 +間接影響 。 tttt uLDC ???? 321 βββntuDC ttt ,...,2,1, ???? ?? 需要說明的是 ， 如果令 x1≡ 1， 則 ?1便是常數(shù)項 。 參數(shù) ?的 OLS估計 ?參數(shù) ?的 OLS估計 附錄：極大似然估計和矩估計 投影和投影矩陣 分塊回歸和偏回歸 偏相關系數(shù) 我們的模型是： iKKi1iiiiXβ. . . .XβYYYe???1 ??????殘差為： 一、參數(shù) ?的 OLS估計 ? 普通最小二乘估計原理：使樣本殘差平方和最小 Y= x1?1 + x2?2 +…+ xk ?k + ? 關鍵問題是選擇 ?的估計量 b（ 或 ） ， 使得殘差平方和最小 。β)39。所以，得到 ?的估計為 用向量展開或矩陣微分法（ 前導不變后導轉置 ），我們可得到關于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組： 令 故 ? 注：這只是得到了求極值的必要條件。 顯然，根據(jù)正定矩陣的定義或者正定矩陣的判斷準則，可知當矩陣的滿秩條件滿足時，矩陣是正定的，因此最小二乘解的充分性成立。 eyy ?? ?方法 2 根據(jù)擬合值的定義bXy ??， 有yXXbX ????????? ? YX)XX(XXY?X 1 則有： ?????????????????????????????????????????????????????????nTnKnKKnTnKnKKyyyxxxxxxyyyxxxxxx????????????????212222112212222112111???111 上述矩陣方程的第一個方程可以表示為： ?????niinii yy11? 則有：yy ?? 附錄：極大似然估計 對于一元線性回歸模型： iii XY ??? ??? 10 i = 1 , 2 , ? n隨機抽取 n 組樣本觀測值iiXY , （ i = 1 , 2 , ? n ），假如模型的參數(shù)估計量已經(jīng)求得到，為??0和??1 ，那么 iY 服從如下的正態(tài)分布： iY ～ ),??(210 ????iXN ?于是， iY 的概率函數(shù)為 2102 )??(2121)(ii XYi eYP??? ??????? i = 1 , 2 , ? ,n 回憶一元線性回歸模型 將該或然函數(shù)極大化 ， 即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量 。 ? 現(xiàn)在，考慮一元線性回歸模型中的假設條件： 0)E ( x0)(Ettt????? 其所對應的樣本矩條件分別為： ? ?? ???T1tT1tt10tt 0)xbb(yT1?T1?? ?? ?????T1tT1tt10tttt 0)xbby(xT1?xT1?? 可見，與 OLS估計量的正規(guī)方程組是相同的。 ? 樣本形式：用每個解釋變量分別乘以模型的兩邊，并對所有樣本點求和，即得到： ??????????????????????????????kiikikiikiiiikikiiiiikikiiixxxxxyxxxxxy)xxx(y)()(22112221122211????????????????YX?)XX( ??? ?? 對每個方程的兩邊求期望，有： ??????????????????????????????))(()())(()()(()(22112221122211kiikikiikiiiikikiiiiikikiiixxxxExyExxxxExyE)xxxEyE????????????????? 得到一組矩條件 ? 求解這組矩條件，即得到參數(shù)估計量 ? 與 OLS、 ML估計量等價 ???????????????????????????kikikiikiiikikiiiikikiiixxxxxyxxxxxy)xxx(y)???()???(???22112221122211?????????????? 矩方法是工具變量方法 (Instrumental Variables,IV)和廣義矩估計方法 (Generalized Moment Method, GMM)的基礎 ? 在矩方法中關鍵是利用了 ? 如果某個解釋變量與隨機項相關，只要能找到 1個工具變量，仍然可以構成一組矩條件。 kjxE jii ,2,1,0)( ????? 廣義矩估計中，矩條件的個數(shù)大于參數(shù)個數(shù)，會出現(xiàn)什么問題呢？ 過度識別