姜啟源之代數(shù)方程與差分方程模型-wenkub
2023-05-25 21:21:40 本頁面
【正文】 的線積分 ?L dlyx ),(?被積函數(shù) μ(x, y) ?? Lf dlyxfLP ),()(FQ(q)~與 Q相距 q的直線 L的線積分 Pf(L)對所有 q的平均值 拉東變換 ? ??? 0 )(1)( q qdFQf Q?拉東逆變換 圖像重建 反映人體器官大小、形狀、密度的圖像 數(shù)學(xué)原理 實際上只能在有限條直線上得到投影 (線積分 ). 圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為 CT技術(shù)在各個領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件 . 圖像重建的代數(shù)模型 Δlj 每個像素對射線的衰減系數(shù)是常數(shù) m個像素 (j=1,…, m), n束射線 (i=1,…, n) iII )/ln ( 0~Li的強(qiáng)度測量 數(shù)據(jù) μj~像素 j的衰減系數(shù) Δlj~射線在像素 j中的穿行長度 J(Li)~射線 Li穿過的像素 j的集合 ? ?L IIdlyx 0ln),(?像素 j 射線 Li niIIl iLJjjji,2,1,)/l n( 0)(???????σ j Li σ lij 圖像重建的代數(shù)模型 常用算法 設(shè)像素的邊長和射線的寬度均為 σ ,)/l n ( 0 ii bII ? jj x??中心線法 aij~射線 Li的中心線在像素 j內(nèi)的長度 lij與 σ之比 . iLJjjj IIli)/l n ( 0)(????? bAx ?面積法 aij~射線 Li的中心線在像素 j內(nèi)的面積 sij與 σ之比 . sij nibxamjijij ,2,1,1?????中心法 aij=1~射線 Li經(jīng)過像素 j的中心點 . 圖像重建的代數(shù)模型 中心法的簡化形式 假定射線的寬度為零 , 間距 σ aij=1 ~Li經(jīng)過像素 j內(nèi)任一點 9 8 7 6 5 4 3 2 1 L4 L8 L7 L6 L5 L3 L2 L1 σ ???????????????????????????100100000010110100001011010000000001011000000110011001100110011000000100AbAx ?根據(jù) A和 b, 由 確定像素的衰減系數(shù)向量 x m和 n很大且 m n, 方程有無窮多解 + 測量誤差和噪聲 在 x和 e滿足的 最優(yōu)準(zhǔn)則下估計 x 代數(shù)重建技術(shù) (ART) beAx ?? 原子彈爆炸的能量估計 1945年 7月 16日美國科學(xué)家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈 , 震驚世界 ! 當(dāng)時資料是保密的 , 無法準(zhǔn)確估計爆炸的威力 . 英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶 , 利用 數(shù)學(xué)模型估計 這次爆炸釋放的能量為 . 后來公布爆炸實際釋放的能量 21千噸 t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) 泰勒測量： 時刻 t 所對應(yīng)的“蘑菇云”的 半徑 r 原子彈爆炸的能量估計 爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點為中心呈球面向四周傳播 ,爆炸的能量越大，在一定時刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn) . 沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來 . 泰勒用 量綱分析方法 建立數(shù)學(xué)模型 , 輔以小型試驗 ,又利用測量數(shù)據(jù)對爆炸的能量進(jìn)行估計 . 物理量的量綱 長度 l 的量綱記 L=[l] 質(zhì)量 m的量綱記 M=[m] 時間 t 的量綱記 T=[t] 動力學(xué)中基本量綱 L, M, T 速度 v 的量綱 [v]=LT1 導(dǎo)出量綱 221rmmkf ?加速度 a 的量綱 [a]=LT2 力 f 的量綱 [f]=LMT2 引力常數(shù) k 的量綱 [k] 對無量綱量 ?， [?]=1(=L0M0T0) 量綱齊次原則 =[f][l]2[m]2=L3M1T2 在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則 ,確定各物理量之間的關(guān)系 . 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 ~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 . 例：單擺運動 )1(321 ???? glmt ?321 ][][][][ ??? glmt ?l mg m 求擺動周期 t 的表達(dá)式 設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式 ?1, ?2, ?3 為待定系數(shù)， ?為無量綱量 ?????????2/12/10321???glt ??(1)的量綱表達(dá)式 glt ?2?與 對比 3321 2 ???? ??? TLMT??????????12003321????對 x,y,z的兩組量測值 x1,y1,z1 和 x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2121pppp???為什么假設(shè)這種形式 ? 設(shè) p= f(x,y,z) ),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxf ?x,y,z的量綱單位縮小 a,b,c倍 ???? zyxzyxf ?),(p= f(x,y,z)的形式為 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp ????量綱齊次原則 321 ???? glmt ?單擺運動 0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy??0002 41243 TMLTML yyyyy ??????????????? 201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式 0),( ?glmtf??????????020041243yyyyy??? glt 12)/( glt ????4321 yyyy glmty1~y4 為待定常數(shù) , ?為無量綱量 0)( ??FT)1,1,0,2( ??Tyyyyy ),( 4321?基本解 設(shè) f(q1, q2, ?, qm) = 0 mjXq niaijij ,2,1,][1??? ??ys = (ys1, ys2, …,y sm)T , s = 1,2,…, mr F(? 1, ?2,…, ?mr ) = 0 與 f (q1, q2, ?, qm) =0 等價 , F未定 . Pi定理 (Buckingham) 是與量綱單位無關(guān)的物理定律， X1,X2, ?Xn 是基本量綱 , n?m, q1, q2, ?qm 的量綱可表為 ,}{ mnijaA ??量綱矩陣記作 rr a n k ?A若線性齊次方程組 0?Ay 有 mr 個基本解，記作 ???mjyjssjq1?為 mr 個相互獨立的無量綱量 , 且 則 記爆炸能量為 E，將“蘑菇云”近似看成一個球形 . 時刻 t 球的半徑為 r t, E 空氣密度 ρ , 大氣壓強(qiáng) P 基本量綱： L, M, T 21322][。][。 選哪些基本量綱 . 有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解 . ? 方法的普適性 函數(shù) F和無量綱量未定 . 不需要特定的專業(yè)知識 . 物理模擬示例： 波浪對航船
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