euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣-wenkub
2022-08-30 18:26:39 本頁(yè)面
【正文】 per ,we generally discuss linear function in Euclid space,found out the necessary and sufficient conditions that can be depicted by gerneralize those results to dobuble linear last,we illustrate the relation between the results of the paper and theory of . The main result of this paper is :f is linear function in Euclid space,then the conditions on the following are equal. 1) there exists only fyV? ,letxV? , we have ( ) , ff x x y? 2) 0f? or dim ( ) 1Nf? ? ； 3) ( ) ( )V N f N f ???. Keywords: Euclid space。Zerospace 目 錄 0 引言 ????????????????????????????? 34 2 1 預(yù)備知識(shí)及引理 ???????????????????????? 45 2 主要結(jié)果 ??????????????????????????? 513 Euclid 空間 上線性泛函的內(nèi)積刻畫 ?????????????? 59 Euclid 空間 上不能用內(nèi)積刻畫的線性泛函的存在性 ?????? 910 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫 ?????????????????? 1013 參考文獻(xiàn) ?????????? ?????????????????? 13 致謝 ??????????????????????????????? 13 0 引言 Cauchy 曾用函數(shù)方程給出了實(shí)數(shù)域上 R 的線性函數(shù)的公理化定義，該定義基于以下命題得到： 3 命題 1[1] 設(shè) f 是實(shí)數(shù)域 R 到 R 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，若對(duì) ,x y R??，有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?，則 ()f x cx? ，這里 (1)cf? 為常數(shù) . 美國(guó)數(shù)學(xué)家 在他的著作 [1] 中取消了命題 1“ f 是連續(xù)函數(shù)”這一假設(shè)，并利用連續(xù)函數(shù)的延拓原理進(jìn)行了新的證明 . 把線性函數(shù)這一概念拓廣到一般的線性空間上，就是如下： 定義 1[2] 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的一個(gè)線性空間，映射 :f V P? 稱為 V 上的線性函數(shù)，如果 f 滿足 1） ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?； 2） ( ) ( )f kx kf x? ， 式中 ,xy是 V 中任意元素， k 是 P 中任意數(shù) . 在上述定義中當(dāng) P 為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域時(shí)，我們也把 f 稱為 V 上的線性泛函 . 在三維幾何空間中，當(dāng) ( , , )n a b c? 為常向量，而 ( , , )x y z?? 為變向量時(shí)，數(shù)量積（內(nèi)積） n?? 可視為函數(shù) ( ):f? ()f ax by cz? ? ? ?，容易驗(yàn)證 ()f? 是一個(gè)線性泛函 .推廣到一般 的內(nèi)積空間 V ，記 0( ) ,f x x y? ( x 是 V 中任意向量， 0y 是 V中一固定向量 ) ，易證 f 是 V 上的一個(gè)線性泛函 . 考慮了以上問(wèn)題在一般意義上的逆命題，對(duì) Hilbert 空間 H 上的連續(xù)線性泛函進(jìn)行了一般性的刻畫： 定理 [3] 設(shè) f 是 Hilbert 空間 H 上的一個(gè)連續(xù)線性泛函，則必存在唯一的 fy H? ，使得 xH?? ，有 ( ) , ff x x y? . 本文將在一般意義上考慮內(nèi)積空間上的線性泛函，研究在怎樣的情形下，內(nèi)積空間上的線性泛函才能用內(nèi)積來(lái)刻畫，這種刻畫是否唯一，并將結(jié)論進(jìn)一步推廣到雙線性函數(shù)的情形 . 在本文中用 ? 表示內(nèi)積， R 表 示實(shí)數(shù)域， ?? 表示正整數(shù)集， dimV 表示 V 的維數(shù)， ? 表示范數(shù)， ? 表示正交， ? 表示直和， ()L? 表示生成子空間 . 1 預(yù)備知識(shí)及引理 定義 2[3] V 是數(shù)域 P 上的線性空間， f 是 V 上的線性函數(shù)，稱 4 ? ?( ) | ( ) 0 ,N f x f x x V? ? ? 為 f 在 V 上的零空間，簡(jiǎn)稱 f 的零空間 . 容易驗(yàn)證， ()Nf 是 V 的子空間 . 定義 3[2] 1V 和 2V 是數(shù)域 P 上的兩個(gè)線性空間， f 是 12VV? 的映射，如果 f 滿足 1) 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )f x k y k y k f x y k f x y? ? ?； 2) 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )f k x k x y k f x y k f x y? ? ?， 其中 12,xx x 是 1V 中任意向量， 12,yy y 是 2V 中任意向量， 12,kk是 P 中任意數(shù)，則稱 12:f V V P??是一個(gè)雙線性函數(shù) . 在定義 3 中，如果 12VV? ，我們?cè)诹?xí)慣上也稱 f 是 1V 2()V或 上的雙線性函數(shù) . 定義 4[3] 1V 和 2V 是數(shù)域
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