【正文】 第一篇：不等式基礎(chǔ)知識(shí)匯總不等式基礎(chǔ)知識(shí)一、不等式的概念1．不等式的定義不等式：用不等號(hào)連接兩個(gè)解析式所得的式子，叫不等式．不等式組：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)不等式組成的式子，叫不等式組．2．不等式的分類（1）按所用不等號(hào)分：嚴(yán)格不等式（簡(jiǎn)單命題）、不嚴(yán)格不等式（復(fù)合命題）．（2）按變量取值范圍分：絕對(duì)不等式、條件不等式、矛盾不等式．（3）按變量的數(shù)量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．（4）按解析式的類型分：3．不等式的相互關(guān)系（1）由不等號(hào)方向看：同向不等式、異向不等式．（2）由變量范圍看：同解不等式、等價(jià)不等式．（3）由形式關(guān)系看：同構(gòu)不等式、不同構(gòu)不等式．二、實(shí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)（符號(hào)法則）實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則是構(gòu)建不等式理論的基石，其順序?yàn)椋簩?shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則→不等式的性質(zhì)→不等式性質(zhì)的應(yīng)用．實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則：正數(shù)大于負(fù)數(shù)，零小于正數(shù)，零大于負(fù)數(shù)．1．a(chǎn)b219。ab0,ab219。ab0,a=b219。ab=0．2．a(chǎn)0219。a0．3．a(chǎn)0219。110,a0219。0． aa4．a(chǎn)0,b0222。a+b0。a0,b0222。ab0．5．a(chǎn)0,b0222。ab0。a0,b0222。ab0。a0,b0222。ab0．三、不等式的性質(zhì)1．三歧性：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b，在ab,ab,a=b三種情況中僅有一種成立．a(chǎn)b219。ba．3．傳遞性：ab,bc222。a(c179。,。,179。179。,等號(hào)是否傳到底？179。?2．對(duì)稱性：abc219。ab+c（移項(xiàng)法則、作差原理）． ab219。a+cb+；c5．加法法則：ab,cd222。a+cb+d（同向特征，可推廣）．6．可乘性：ab,c0222。acbc（若c0，則ab219。acb）； c． ab,c0222。acbc（若c0，則ab219。acbc）4．可加性：7．倒數(shù)法則：（1）ab0222。1111a(若a、b206。R+，則ab219。219。1)； ababb1111a(若a、b206。R，則ab219。219。1)； ababb11． ab（2）ba0222。（3）a0b222。8．乘法法則：ab0,cd． 0222。acbd（可推廣）nn9．乘方法則：ab0222。ab(n179。2,n206。N+)．（乘法法則的特例）mm（若a、b206。R，m206。Q，則ab219。ab）．10．開(kāi)方法則：ab0n179。2,n206。N+)．2211．均值定理：（1）a+b179。2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）（可推廣）；（2）a、b206。R+，a+b179。（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）（幾何意義：半徑不小于半弦．）；22（3）ab163。a+b,ab163。(a+b)2（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）； 22（4）a+b163。163。163。a、b206。R+)2+ab（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）；（調(diào)和平均數(shù)163。幾何平均數(shù)163。算術(shù)平均數(shù)163。冪平均數(shù)）；2（5）qpx+179。px0,qx0)（一正二定三相等）； x(aq+bp)2（6）(a+px)(bqx)163。（一正二定三相等）． 4pq12．真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：0ab,m0222。0aa+m1（濃度不等式）． bb+m注：不等式的性質(zhì)可分為單向性質(zhì)和雙向性質(zhì)兩類．在解不等式時(shí)，只能用雙向性質(zhì)；在證明不等式時(shí)，既可用單向性質(zhì)，也可用雙向性質(zhì)．附：化歸方法在不等式中的具體運(yùn)用：（1）異向化同向；（2）負(fù)數(shù)化正數(shù)；（3）減式化加式；（4）除式化乘式；（5）多項(xiàng)化少項(xiàng)；（6）高次化低次．四、不等式的證明證明不等式就是利用不等式的性質(zhì)等知識(shí)，證明所給不等式在給定條件下恒成立．不等式形式的多樣性導(dǎo)致其證明方法的靈活性，具體問(wèn)題具體分析是證明不等式的準(zhǔn)則．具體證明方法有如下幾種：1．作差比較法原理：符號(hào)法則．步驟：作差174。變形（配方、通分、分解、有理化、配方等）174。定號(hào)174。判斷．2．作商比較法原理：符號(hào)法則．步驟：作商（注意前提）174。變形（指數(shù)運(yùn)算）174。定號(hào)174。判斷．3．分析法原理：B220。B1220。B2220。LL220。Bn220。A．步驟：執(zhí)果索因，從“未知”找“需知”，逐步靠攏“已知”．特點(diǎn)：利于思考，方向明確，思路自然．（刑警辦案、剝筍）格式：欲證??（），（因?yàn)??，所以）只需證??，??（因?yàn)??，所以）只需證??（*），而（*）顯然成立，所以（）4．綜合法原理：A222。BL222。Bn1222。B2222。L222。B．步驟：由因?qū)Ч?，從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．特點(diǎn)：條理清楚，經(jīng)驗(yàn)豐富，傳統(tǒng)自然．（法官定罪、包裝）注：（1）證明時(shí)，如果首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要推出過(guò)程的每一步都是可逆的，那么就可以斷定所給的不等式成立，這也是分析法，其邏輯原理為：B219。B1219。B2219。LL219。Bn219。A．（2）用分析法時(shí)要正確使用連接有關(guān)分析推理步驟的關(guān)鍵詞，如“欲證??，只需證??”、“即??”、“假定??成立，則??”等．并且，必須有對(duì)最后找到 的，使求證結(jié)論成立的充分條件正確性的判斷，否則其步驟因不完善而錯(cuò)誤．（3）由條件或一些基本性質(zhì)入手、較易的不等式，以及條件較多的不等式，多可用綜合法證明．而對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，以及恒成立的不等式，運(yùn)用分析法證明更為有效．分析法和綜合法之間是互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辨證統(tǒng)一關(guān)系，分析法的終點(diǎn)是綜合法的起點(diǎn)，綜合法的終點(diǎn)是綜分析法的起點(diǎn)．對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的證明，常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以整理，甚至需交替使用這兩種方法，事實(shí)上，這兩種方法往往也很難區(qū)分開(kāi)．（4）證明不等式的方法還有反證法、判別式法、換元法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)法、放縮法（把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性進(jìn)行證明不等式的方法，叫放縮法．其常用方法有：舍去一些項(xiàng)、在積中換大（?。┠承╉?xiàng)、擴(kuò)大（縮?。┓质降姆帜福ǚ肿樱┑龋┑龋治龇ㄖ皇且环N重要的探求方式，而不是一種好的書(shū)寫(xiě)形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證??”去掉不寫(xiě)，就成了錯(cuò)誤。而用綜合法書(shū)寫(xiě)的形式，掩蓋了分析、探索的過(guò)程。如果直接寫(xiě)，而不用分析法，人們會(huì)感到看得明白，自己卻做不出。因此，在做題時(shí)，通常先用分析法探求解題途徑，在解答時(shí)，再用綜合法書(shū)寫(xiě)。另外，凡是能用分析法證明的問(wèn)題，一定可以用綜合法證明。反證法證題的特征是通過(guò)導(dǎo)出矛盾，歸結(jié)為謬誤，而使命題得證。因此，反證法也叫歸謬法。如果結(jié)論的反面只有一種情況，即只需作出一種反設(shè)，并設(shè)法導(dǎo)致矛盾，立即使命題獲證；如果結(jié)論的反面不止一種情況，則對(duì)每種情況都必須作出反設(shè)，然后將每一反設(shè)一一駁倒，才能使命題獲證；這就是反證法的兩種類型，前者稱為簡(jiǎn)單歸謬法（簡(jiǎn)稱歸謬法），后者稱為窮舉歸謬法（簡(jiǎn)稱窮舉法）。“否定結(jié)論”在推理論證中要作為已知使用。“假設(shè)”不能寫(xiě)成“設(shè)”用反證法證明“若p則q”的過(guò)程如下圖所示：適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題有：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②結(jié)論是以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；③關(guān)于唯一性、存在性的命題；④結(jié)論的反面比原結(jié)論更簡(jiǎn)單、更具體、更容易研究的命題等。五、解不等式利用不等式性質(zhì)及相關(guān)知識(shí)，求變量的取值集合或判斷其無(wú)解的過(guò)程，叫解不等式．解不等式是一個(gè)由繁到簡(jiǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化變形過(guò)程，大體情形為：若不等式是超越不等式，則把它等價(jià)變形為代數(shù)不等式；若代數(shù)不等式是無(wú)理不等式，則把它等價(jià)變形為有理不等式；若有理不等式是分式不等式，則把它等價(jià)變形為整式不等式；若整式不等式是高次不等式，則把它等價(jià)變形為低次不等式；若不等式是形式不規(guī)范的不等式，則把它等價(jià)變形為規(guī)范形式的不等式；若不等式是絕對(duì)值不等式，則把它等價(jià)變形為不含絕對(duì)值的不等式．1．一次型2．二次型3．分式型4．絕對(duì)值型5．無(wú)理不等式6．高次不等式、高次分式不等式（1）數(shù)軸標(biāo)根法：標(biāo)準(zhǔn)化→分解→標(biāo)根→定號(hào)→取解集．（2）