等價無窮小量的性質及推廣應用(已修改)
2025-08-10 11:43 本頁面
【正文】 1 各專業(yè)完整優(yōu)秀畢業(yè)論文設計圖紙 等價無窮小量的性質及推廣應用 摘 要 等價無窮小量具有很好的性質 ,靈活運用這些性質 ,無論是在求極限的運算中 ,還是在正項級數(shù)的斂散性判斷中 ,都可取到預想不到的效果 ,能達到洛比達法則所不能取代的作用 .通過舉例 ,對比了不同情況下等價無窮小量的應用以及在應用過程中應注意的一些性質條件 ,不僅使這些原本復雜的問題簡單化 ,而且可避免出現(xiàn)錯誤地應用等價無窮小量 . 關鍵詞： 等價無窮小量 。極限 。洛必達法則 。比較審斂法 。優(yōu) 越性 2 目 錄 1 引言 .................................................................... 3 2 文獻綜述 ................................................................ 3 國內外研究現(xiàn)狀 ........................................................ 3 國內外研究現(xiàn)狀評價 .................................................... 3 提出問題 .............................................................. 3 3等價無窮小量的概念及其重要性質 .......................................... 3 等價無窮小量的概念 .................................................... 4 等價無窮小量的重要性質 ................................................ 5 等價無窮小量性質的推廣 ................................................ 5 4 等價無窮小量的應用 ...................................................... 9 求函數(shù)的極限 .......................................................... 9 等價無窮小量在近似計算中的應用 ....................................... 10 利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限 ................................. 10 等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應用 ................................... 11 5等價無窮小量的優(yōu)勢 ..................................................... 12 運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢 ..................................... 12 等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢 ................................. 14 6 結論 ................................................................... 15 主要發(fā)現(xiàn) ............................................................. 15 啟示 ................................................................. 15 局限性 ............................................................... 16 努力方向 ............................................................. 16 參 考 文 獻 .............................................................. 17 3 1 引言 等價無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一 ,但在微積分理論中等價無窮小量的性質僅僅在 “ 無窮小的比較 ” 中出現(xiàn)過 ,其他地方似乎都未涉及到 .其實 ,在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性 ,特別是在求極限的運算過程中 ,無窮小具有很好的性質 ,掌握并充分利用好它的性質 ,往往會使一些復雜的問題簡單化 ,可起到事半功倍的效果 ,反之 ,則會錯誤百出 ,有時還很難判斷錯在什么地方 .因此 ,有必要對等價無窮小量的性質進行深刻地認識和理解 ,以便恰當運用 ,達到簡化運算的目的 . 2 文獻綜述 國內外研究現(xiàn)狀 現(xiàn)查 閱到的國內外參考文獻 [1— 15]中，作者們都不同程度地探討了等價無窮小的概念及其重要性質和應用。文獻 [1]同濟大學應用數(shù)學系主編 .高等數(shù)學 .楊文泰 的文獻 [2]都從不同程度上講解了 等價無窮小的概念。 彭康青 ,馬振民 的文獻 [5]， 尤曉琳 ,吳振芬的文獻 [4]屈紅萍 ,趙文燕 的文獻 [8]都對 等價無窮小 求極限進行了講解研究并得出一些方法；文獻 [3]王斌對用羅比塔法則求未定式極限的局限性進行了探討。馮錄祥，段麗凌 ,楊賀菊， 王強 ， 龔萍 ， 張云霞 ， 陳大橋 ， 張高明 ， 李權 ， 蹇小平 ， 殷君芳 等分別在文獻 [6， 7,915]中對等價無窮小進行了一定的講解與探究，提出了一些合理的應用方法和推廣實例，但存在一定的極限 . 國內外研究現(xiàn)狀評價 在查閱到的國內外參考文獻 [115]中，對等價無窮小作了一定的研究，給出了一些建議與方法，但系統(tǒng)性不強，比較零散，但在數(shù)學中，等價無窮小的應用是很重要的。 提出問題 本文在查閱到的相關參考文獻的基礎上，對等價無窮小 的應用 ，提出了開門見山直接導入，并通過相關例題說明其概念，性質及其應用。 3 等價無窮小量的概念及其重 要性質 無窮小的定義是以極限的形式來定義的，當 x→x0 時 (或 x→∞) 時， limf(x)=0，則稱函數(shù) f(x)當 x→x0 時 (或 x→∞) 時為無窮小。 4 當 limβα=1 ，就說 β 與 α 是等價無窮小。 常見性質有： 設 α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若 α ～α′,β ～ β′ ， 且 limα′β′ 存在，則 limαβ=l
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