32第4課時(已修改)
2024-12-24 10:28 本頁面
【正文】 第三章 第 4 課時 一、選擇題 1． 在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為 (0，－ 1,3)、 (2,2,4)，則這個二面角的余弦值為 ( ) A. 156 B．－ 156 C. 153 D． 以上都不對 [答案 ] D [解析 ] ∵ ?0，－ 1， 3??2， 2， 4?1＋ 9 4＋ 4＋ 16 ＝ 156 ， ∴ 這個二面角的余弦值為 156 或－ 156 . 2． 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， E 是 C1C的中點 ， 則直線 BE與平面 B1BD所成的角的正弦值為 ( ) A． － 105 B. 105 C．－ 155 D. 155 [答案 ] B [解析 ] 建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為 2，則 D(0,0,0)、 B(2,2,0)、B1(2,2,2)、 E(0,2,1)． ∴ BD→ ＝ (－ 2，－ 2,0)、 BB1→ ＝ (0,0,2)、 BE→ ＝ (－ 2,0,1)． 設平面 B1BD的法向量為 n＝ (x， y， z)． ∵ n⊥ BD→ ， n⊥ BB1→ ， ∴????? － 2x－ 2y＝ 02z＝ 0 ， ∴ ????? x＝－ yz＝ 0 . 令 y＝ 1， 則 n＝ (－ 1,1,0)． ∴ cos〈 n， BE→ 〉＝ nBE→|n||BE→ |＝ 105 ，設直線 BE與平面 B1BD所成角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 n，BE→ 〉 |＝ 105 . 3． 如圖 ， 在棱長為 1 的正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， M、 N分別為 A1B1和 BB1的中點 ，那么直線 AM 與 CN 所成的角的余弦值為 ( ) A. 32 B. 1010 [答案 ] D [解析 ] 解法一： ∵ AM→ ＝ AA1→ ＋ A1M→ ， CN→ ＝ CB→ ＋ BN→ ， ∴ AM→ CN→ ＝ (AA1→ ＋ A1M→ )(CB→ ＋ BN→ ) ＝ AA1→ BN→ ＝ 12. 而 |AM→ |＝ ?AA1→ ＋ A1M→ ??AA1→ ＋ A1M→ ? ＝ |AA1→ |2＋ |A1M→ |2＝ 1＋ 14＝ 52 . 同理， |CN→ |＝ 52 .如令 α為所求角，則 cosα＝ AM→ CN→|AM→ ||CN→ |＝1254＝ D. 解法二：如圖以 D為原點，分別以 DA、 DC、 DD1為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標系，則 A(1,0,0)、 M(1， 12， 1)、 C(0,1,0)、 N(1,1， 12)， ∴ AM→ ＝ ?? ??1， 12， 1 － (1,0,0)＝ (0， 12， 1)， CN→ ＝ (1,1， 12)－ (0,1,0)＝ (1,0， 12)． 故 AM→ CN→ ＝ 0 1＋ 12 0＋ 1 12＝ 12， |AM→ |＝ 02＋ ?? ??12 2＋ 12＝ 52 ， |CN→ |＝ 12＋ 02＋ ?? ??12 2＝ 52 . ∴ cosα＝ AM→ CN→|AM→ ||CN→ |＝1252 52＝ 25. 4． (2021河南洛陽市高二期末測試 )正四棱錐 S－ ABCD中 ， SA＝ AB＝ 2， 則直線 AC 與 平面 SBC 所成角的正弦值為 ( ) A. 36 B. 66 C. 33 D. 63 [答案 ] C [解析 ] 建立如圖所示的空間直角坐標系 O－ xyz. 由題意得 A(1，－ 1,0)、 C(－ 1,1,0)、 B(1,1,0)、 S(0,0， 2)． ∴ CA→ ＝ (2，－ 2,0)， BS→ ＝ (－ 1，－ 1， 2)， CS→ ＝ (1，－ 1， 2)． 設平面 SBC的一個法向量 n＝ (x， y， z)， 則????? nBS→ ＝ 0nCS→ ＝ 0， ∴ ??? － x－ y＋ 2z＝ 0x－ y＋ 2z＝ 0， 令 z＝ 2，得 x＝ 0， y＝ 2， ∴ n＝ (0,2， 2)． 設直線 AC與平面 SBC所成的角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 n， AC→ 〉 |＝ 42 2 6＝ 33 . 二、填空題 5． 如圖 ， 已知在一個二面角的棱上有兩個點 A、 B， 線段 AC、 BD 分別在這個二面角的兩個面內(nèi) ， 并且都垂直于棱 AB， AB＝ 4cm， AC＝ 6cm， BD＝ 8cm， CD＝ 2 17cm， 則這個二面角的度數(shù)為 __________________． [答案 ] 60176。 [解析 ] 設〈 AC→ ， BD→ 〉＝ θ， ∵ CA⊥ AB， AB⊥ BD， ∴ AC→ AB→ ＝ BD→ AB→ ＝ 0，〈 CA→ ， BD→ 〉＝ 180176。－ θ， ∴ |CD→ |2＝ (CA→ ＋ AB→ ＋ BD→ )2 ＝ |CA→
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