【正文】 開放型實驗 教學(xué) 項目指導(dǎo)書 Matlab 軟件使用入門 任課老師：漆志鵬 13027240809 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 1 目錄 導(dǎo)言 2 函數(shù)的極限 6 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù) 21 積分 29 2 導(dǎo)言 1 什么是數(shù)學(xué)實驗 數(shù)學(xué)實驗，概括地說是一種以實際問題為載體，以計算機為工具，以數(shù)學(xué)軟件為平臺，以學(xué)生為主體，借助教師輔導(dǎo)而完成的數(shù)學(xué)實踐活動。 1． 以實際問題為載體 實驗的 直接目的是為了解決實際問題，發(fā)以它以解決實際問題為主線，每個實驗都圍繞某個問題實際問題展開，通過 實際問題的分析和解決來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識以及培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力。 2． 以計算機為工具 用數(shù)學(xué)知識解決實際問題當然離不開數(shù)值計算，而計算機最強大的功能恰恰是高速、快捷的計算，所以計算機為我們提供便捷的計算工具，使我們擺脫繁重計算工作的困擾。 3． 以數(shù)學(xué)軟件為平臺 要使計算機充分發(fā)揮特長，科學(xué)的軟件是必不可少的，利用它可以使計算機資源發(fā)揮更好的作用，從面避免低水平的重復(fù)勞動。 4． 以學(xué)生為主體 數(shù)學(xué)實驗既然是實驗 ，就要求學(xué)生多動手、多上機、勤思考、少講多練，在教師指導(dǎo)下探索建立模型解決實際問題的方法，在失敗與成功中獲得真知，在實踐中發(fā)揮聰明才智。 例 1 演示曲面的法線（以旋轉(zhuǎn)曲面為例）。 分析 要完成該問題可分兩步進行：（ 1）首先畫出旋轉(zhuǎn)曲面的圖形；（ 2）在旋轉(zhuǎn)曲面上畫法線。 實驗步驟 （ 1） 設(shè)計擬畫法線的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，即確定旋轉(zhuǎn) 曲面的方程（實際是確定旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程）； （ 2） 找到實現(xiàn)目的的 MATLAB 語句：作旋轉(zhuǎn)曲面圖的函數(shù)是 cylinder。作曲面上法線的函數(shù)是surfnorm. 尋找方法：查閱書籍；通過 MATLAB 幫助文件；通過上網(wǎng)查詢或上網(wǎng)尋求幫助。 （ 3） 使用 MATLAB 的幫助系統(tǒng)，查詢用法并實驗，練習(xí)掌握（主要掌握各個參數(shù)的不同含義和功能）之后可完成本題。 可書寫程序如下： 3 Y=1::1。 x=5*cos(asin(Y))。 %定出旋轉(zhuǎn)曲面的“母線” [X,Y,Z]=cylinder (x,20)。 % 形成旋轉(zhuǎn)曲面 Surfnorm(X(:,1:21),Y(:,1:21), Z(:,1:21))。 %在旋轉(zhuǎn)曲面上畫法線 View([120,18]) %控制觀察角 （ 4） 運行可看到圖形，見圖 1. 圖 1. 旋轉(zhuǎn)曲面的法線 （ 5） 通過改變母線形狀、畫法線的選取點和觀察視角來觀察圖形的變化，以取得對該問題的深層次理解。 思考 我們知道曲面上點的法線也可以通過曲面方程的偏導(dǎo)數(shù)求出來，現(xiàn)在已經(jīng)用現(xiàn)成的命令繪制了曲面的法線，能否用我們熟悉的方法來繪制曲面的法線呢？如果經(jīng)過 我們自己的努力實現(xiàn)此目的，將兩者比較分析，豈不美哉！如果沒能實現(xiàn)，思考為什么，找出癥結(jié)所在，并設(shè)法解決。如果解決了，很好！如果沒能解決，再找原因，再設(shè)法解決，依此類推，就這樣進行思考 實驗 再思考 再實驗的培養(yǎng)技能過程。如果最后圓滿解決，則真正理解了數(shù)學(xué)實驗的涵義，同進也了解了 Matlab 語言關(guān)末該命令的核心算法，并能深刻體會 Matlab 的簡捷高效性。 4 2 開設(shè)數(shù)學(xué)實驗的原因和目的 （ 1）引導(dǎo)學(xué)生進入自己體驗數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)的境界 長久以來，數(shù)學(xué)一直被認為是一門高度抽象的學(xué)科，對大多數(shù)人來說，無論是研究數(shù)學(xué)還是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，都是從公理體系出發(fā)，沿著“定義 定理 證明 推論”這樣一條邏輯演繹的道路行進，公理化體系的建立，充分展示了數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴謹?shù)倪壿嬓?，使?shù)學(xué)成為有別于其他自然科學(xué)的獨樹一幟的科學(xué)領(lǐng)域，但是，在完美的公理化體系的包裝下，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)問題、處理問題、解決問題的思維軌跡往往被掩蓋了。在學(xué)習(xí)中，常常有學(xué)生問：“當初的數(shù)學(xué)家是怎樣想到這個問題的？他們是怎能樣發(fā)現(xiàn)證明的方法的？”事實上，理性的認識以感性 認識為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的抽象來源于對具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象的歸納和總結(jié)。因此，通過開設(shè)數(shù)學(xué)實驗，可使學(xué)生采用歸納的方法和實驗的手段來學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，進入自己體驗數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的境界。 （ 2）培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的素質(zhì)和能力 21 世紀，各個學(xué)科的發(fā)展正走向“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)的應(yīng)用正走向“普及化”，因此，如何加強“用數(shù)學(xué)”的教育，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力，已經(jīng)成為當前大學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要課題。因此，通過開設(shè)數(shù)學(xué)實驗，要使學(xué)生在自己動手、動腦理解數(shù)學(xué)概念和定理、解決一些實際問題的實驗過程中，學(xué)會 應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法和過程，逐漸提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，為更廣泛更深入的數(shù)學(xué)應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ)。 （ 3）培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，促成數(shù)學(xué)教學(xué)的良性循環(huán) 長期以來，內(nèi)容多、負擔(dān)重、枯燥乏味、學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，一直困擾著大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，與此形成鮮明對照的是受大環(huán)境支配的計算機熱。由同學(xué)自己動手，用他們熟悉的、喜歡“玩”的計算機去理解數(shù)學(xué)中的抽象概念和結(jié)論，去解決幾個經(jīng)過簡化的實際問題，讓學(xué)生親身感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的“酸甜苦辣”?！白鋈缓笾蛔恪?，在培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力的同時，也激發(fā)了他們進一步學(xué)好數(shù)學(xué)的舉和積極性，因此，開設(shè)數(shù)學(xué)實驗可以促成數(shù)學(xué)教育的良性循環(huán)。 3 怎樣做數(shù)學(xué)實驗 為了做好數(shù)學(xué)實驗，建議實驗者遵循如下步驟： （ 1） 明確所提出的需要研究和解決的實際問題，這是進行實驗的直接目的，也是進行實驗的主線。 （ 2） 設(shè)計一定的實驗方式對所提出的問題進行觀察和分析。如：建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，計算并列出各種實驗數(shù)據(jù)，畫出函數(shù)曲線進行觀察、比較和思考，進行必要的公式演算和推導(dǎo)，等等，這一實驗步驟往往要借助計算機作為實驗輔助工具，它是做好實驗的基礎(chǔ)。 （ 3） 在完成 上述步驟的過程中，努力發(fā)現(xiàn)問 題的規(guī)律，并且對實驗結(jié)果和規(guī)律性給出盡可能清晰的描述，同時提出你自己的猜想或見解。 5 （ 4） 通過數(shù)學(xué)的分析或證明（有時也借助計算機），給出支持你所獲結(jié)論的論證。 （ 5） 總結(jié)全過程，寫也實驗報告。 同時，為了達到我們預(yù)期的目標，請實驗者盡量做到以下幾點： （ 1） 要將動手、動腦結(jié)合起來，通過認真的思考設(shè)計出實驗方式，再根據(jù)現(xiàn)有的實驗結(jié)果進行深入的思考，然后再設(shè)計出實驗方式，數(shù)學(xué)實驗就是思考 實驗 再思考 再實驗的循環(huán)往復(fù)過程，最后直至問題完全解決（至少自己比較滿意）。當然，通常思考和實驗并沒有明顯的界限，往往是實驗中有 思考，思考中有實驗 。 （ 2） 在實驗中，要對給出的實驗現(xiàn)象進行認真的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)一些值得思考的問題，甚至是某些困惑或懷疑，這是實驗的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。 （ 3） 發(fā)現(xiàn)問題之后，不等、不靠，要通過自己的分析思考和實驗最終使問題得到解決，實驗者應(yīng)該學(xué)習(xí)、體會和掌握的是探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法和過程以及解決實際問題的過程與步驟。 理解與計算類數(shù)學(xué)實驗之 函數(shù)的極限 引 1．問題：老張在銀行存入 1000 元，復(fù)利率為 10%，分別以按年結(jié)算和按連續(xù)復(fù)利結(jié)算兩種方式計算 10年后老張在銀行的存款額。（注：按復(fù)利計算，若每年結(jié)算 m 次，則每個結(jié)算周期的復(fù)利率為 mr/ , r 為年利率。） 2．分析：令 nP 表示 n 年后的存款額， r 表示年利率，用 P 表示本金，則 (1)按年結(jié)算 ， 1010 )1( rPP ?? ； (2)按復(fù)利結(jié) 算，設(shè)每年結(jié)算 m 次，則每個結(jié)算周期的復(fù)利率為 mr/ ，所以 10 年后的存款額為mmrP 10)1( ? ，而我們所說的是按連續(xù)復(fù)利計算，即一年結(jié)算無數(shù)次，所以按連續(xù)復(fù)利計算的 10 年后的存款額應(yīng)為 mm mrPP 1010 )1(lim ?? ??. 3. 問題的解決：由上述分析可知，第一種結(jié)算方式比較容易計算，只要將表達式輸入并代入具體的數(shù)值，即可得到結(jié)果；第二種結(jié)算方式需要計算極限。本節(jié)重點進行與極限相關(guān)的實 驗。 6 實驗?zāi)康? 1．掌握用 MATLAB 軟件函數(shù)極