【正文】 附錄 A 非線性礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的控制 Yunan Hua,1 , Olga I. Koroleva b,*, Miroslav Krsticb a 深空探測(cè)研究中心，哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱 100051 ，中華人民共和國 b機(jī)械航空工程系，加州大學(xué)，圣地亞哥， 9500 Gilman Dr. MC0411, La Jolla, CA 920930411, 美國 摘要： 煤礦通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的重要作用是使爆炸性或有毒氣體（如甲烷）維持在低濃度。由于其目的是控制流體的流動(dòng)，所以礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)是高階非線性系統(tǒng)。過去在這一方面的研究 是基于多變量線性模型。本文提出的是一個(gè)非線性模型。開發(fā)兩個(gè)控制算法。一個(gè)人操縱所有的網(wǎng)絡(luò)分支機(jī)構(gòu)就可實(shí)現(xiàn)全球性調(diào)控的結(jié)果。其他人只操縱網(wǎng)絡(luò)中不屬于樹圖的分行，實(shí)現(xiàn)監(jiān)管（非無窮?。┕ぷ鼽c(diǎn)的附近區(qū)域。這種針對(duì)礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)提出的方法，也適用于其他類型的流體網(wǎng)絡(luò)，如燃?xì)饣蛩姆咒N網(wǎng)絡(luò)，灌溉網(wǎng)絡(luò)，并有可能建立起通風(fēng)系統(tǒng)。 關(guān)鍵詞： 非線性控制 。礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò) 。流量控制 。暖通空調(diào) 1. 簡(jiǎn)介 石油儲(chǔ)備枯竭后，煤作為礦物燃料能源還會(huì)保持一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間。煤礦開采的一個(gè)主要困難是因?yàn)榈叵碌拿旱V存在有毒且易爆的氣體甲烷。煤礦事故血的教 訓(xùn)從古至今未曾間斷。 現(xiàn)代煤礦有的許多調(diào)節(jié)甲烷濃度的通風(fēng)設(shè)施。在這種通風(fēng)系統(tǒng)中通常不是直接控制空氣流動(dòng)，而是通過通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的個(gè)別部分來控制?？梢栽谕L(fēng)網(wǎng)絡(luò)的重要位置（往往直接連接到外部環(huán)境）安置幾臺(tái)風(fēng)機(jī) /壓縮機(jī)來驅(qū)動(dòng)空氣，也可以在網(wǎng)絡(luò)的分支上用 ―風(fēng)門 ‖ 來控制。控制礦井通風(fēng)的問題在 20 世紀(jì) 70 年代和 80年代才受到相當(dāng)?shù)闹匾暋? 無疑，礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)分支能影響其他分支的流程的一個(gè)多變量控制問題。 為此，作為一個(gè)流體網(wǎng)絡(luò) (這與模擬一個(gè)電路非常相像 )和一個(gè)多變量控制的問題，礦井通風(fēng)需要接近基于模 型的方式。 早期在這個(gè)題目上做研究的是 Kocic。他認(rèn)為礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)線性化的，各參量混在一起的動(dòng)態(tài)模型并且發(fā)現(xiàn)了用線性反饋的規(guī)則來研究。 他發(fā)現(xiàn)了允許他分離問題并且避免使用高度復(fù)雜的 MIMO控制工具來研究 SISO問題的結(jié)構(gòu)特性。然而，他沒有利用網(wǎng)絡(luò)圖表理論的特性，這使他忽視了問題的非線形性 (根本問題在于流體的流動(dòng) )和只要使用動(dòng)態(tài)反饋補(bǔ)償器靜態(tài)輸出反饋就可以了。本文中將進(jìn)行一些改善。 礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的控制方式包括 Kirchho’s法，電壓法律法 (代數(shù)等式 )以及各分支 (微分方程 )可變的動(dòng)態(tài)等式法。分 支采取 RL典型非線性抵抗的電等值的形式，被塑造成使用混合參量略計(jì)的不可壓縮的 Navier–Stokes 等式 .確切地講，分支上氣壓的降低與空氣流動(dòng)率 (非線性抵抗項(xiàng) )的正方形和氣流加速度 (線性引人期限 ) 近似成正比。 可以用 Kirchho’s 代數(shù)等式創(chuàng)建的模型和分支典型微分方程一起構(gòu)成一個(gè)最簡(jiǎn)的控制模型。 顯而易見，由于在網(wǎng)絡(luò)的分支點(diǎn) (結(jié) )處質(zhì)量守恒，所以許多分支的氣流是相互依賴的。 因此，分支的數(shù)量比最小的系統(tǒng)表示法更主要。 當(dāng)一個(gè)人從循環(huán)理論得出形象化的概念時(shí)這種直覺就會(huì)變得系統(tǒng)化。每個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以被劃分成樹 (他們連接圖上的所有結(jié)點(diǎn)，并且沒有構(gòu)成任何回路 )和補(bǔ)全樹的一套分支，稱余樹，分支指連接。流經(jīng)分支的流體確定動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的最小表示法。 當(dāng)可能僅控制獨(dú)立分支的氣流時(shí)，有必要在些分支里安置動(dòng)力設(shè)備，在樹枝里安置動(dòng)力設(shè)備的物理可能性允許用兩種方法來解決問題。第一種方法是我們?yōu)榈V井通風(fēng)這個(gè)非線性系統(tǒng)設(shè)置一個(gè)能驅(qū)動(dòng)所有分支的并且能達(dá)到總體穩(wěn)定的驅(qū)動(dòng)設(shè)備。 第二種方法是只在獨(dú)立的分支或區(qū)域內(nèi) (在工作點(diǎn)附近的空間 )實(shí)施驅(qū)動(dòng)。 一個(gè)問題是，當(dāng)模型是仿射控制的輸入時(shí)，并沒有以疊加的方式出現(xiàn)。 因?yàn)榉种?duì)系統(tǒng)的輸入是有抵抗力的 (分 支中的調(diào)節(jié)風(fēng)門 )，控制投入總是乘以平方的非線性。 正如讀者在第 4部分所見， 下面的一個(gè)復(fù)雜的模型前面幾節(jié)的開發(fā)，總體線性控制設(shè)計(jì)的最后一步時(shí)多變量反饋的是線性化。 這通常也許提升了問題的不確定性，但是在這類系統(tǒng)中他們和容易測(cè)量的巷道長(zhǎng)度和直徑一樣不重要。 因?yàn)槊旱V巷道總是裝備有壓力、流量和甲烷含量傳感器，所以該方法可以進(jìn)行充分的測(cè)量。 本文如下安排。在第 2部分我們介紹結(jié)構(gòu)性等式并且分別地推導(dǎo)非最簡(jiǎn)系統(tǒng)的最小表示法。在第 3部分我們開發(fā)使用驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的所有分支的反饋法則，而在第 4部分我們推導(dǎo)僅在獨(dú)立分支輸入時(shí)的反饋。 我們結(jié)合范例，精選最簡(jiǎn)短的語言來說明問題和設(shè)計(jì)算法。 2. 礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型 . 管路流程動(dòng)力學(xué)和礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的 Kirchho’s法律 為了開發(fā)礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的模型，首先我們建立一個(gè)分支的動(dòng)態(tài)等式。簡(jiǎn)而言之，我們做以下假設(shè)： (A1)空氣是不可壓縮的 。 (A2) 溫度在所有的分支是相同的。在假定 (A1)和 (A2)之后，礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)分支描述為下式 : jjjjjjj HKRKtQ ??dd， (1) 這里 Qj是通過分支 j 的空氣流量 。 Rj =rjlj 是空氣阻力， rj是分支的具體的空氣阻力， lj是分支， Hj = plj plj0是分支的壓降， plj是分支的末端的絕對(duì)壓力， plj0是分支開始端的絕對(duì)壓力， Kj = Sj=lj是慣性系數(shù)， Sj是分支的橫斷面， ? 是空氣密度， j =1,…, n， n是網(wǎng)絡(luò)分支的數(shù)量。 就像一個(gè)電子網(wǎng)絡(luò)，礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)必須滿足 Kirchho’s 法則，即在所有節(jié)點(diǎn)出入守恒。數(shù)學(xué)上，礦井通風(fēng)網(wǎng) 絡(luò)的 Kirchho’s法則可以表示為： ?? ?nj jji QEQ1 0 , i=2,…, nc 1 ， (2) 或者 E=0, (3) 這里 nc 是網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量， Q 是風(fēng)流矢量流量， EQ 是滿秩矩陣 (nc2) n，EQ =[EQij]， EQij定 義如下：如果分支 j 與節(jié)點(diǎn) i 連接并且氣流從節(jié)點(diǎn) i 流出， EQij = 1。 如果分支 j 與節(jié)點(diǎn) i 連接并且氣流流向節(jié)點(diǎn) i， EQij =1。 如果分支 j 沒有與節(jié)點(diǎn) i 連接 ， EQij =0。 我們假設(shè)，礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)使用礦井外部連接的一臺(tái)主要風(fēng)扇。并且讓節(jié)點(diǎn) 1連接到風(fēng)扇所在分支。然后風(fēng)扇所在分支的氣流可以表示為： ?? ?nj mjmjQ e1 , (4) 或者 eQmQ=Qm, (5) 這里 Qm是通過風(fēng)扇 (主要 )分支的空氣流量， eQm = [eQm1 ,…, eQmn] 是 1n矩陣，包括 eQmj。 j =1,…,n ，定義如下：如果分支 j 連接到節(jié)點(diǎn) 1并且氣流遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn) 1，eQmj =1。 如果分支 j 連接到節(jié)點(diǎn) 1并且空氣流入節(jié)點(diǎn) 1， eQmj = 1。 如果分支 j 沒有與節(jié)點(diǎn) 1 連接， eQmj =0 。 無獨(dú)有偶，礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)也滿足 Kirchho’s 電壓法則， 即：在網(wǎng)絡(luò)中所有環(huán)上的降壓的總和一定是零或者數(shù)學(xué)上是相等的， ?? ?nj jijHEH1 0 , i=1,…, lk (6) 或者 EHH =0, (7) 這里 Hj是分支 j 上的降壓 。 l 是網(wǎng)絡(luò)中分支的數(shù)量， l=nnc +1。 H是降壓， H是矢量 壓降， EH是 (l k) n基本矩陣，每個(gè)網(wǎng)格由一個(gè)分支和在連接分支的二個(gè)節(jié)點(diǎn)的樹的一個(gè)獨(dú)特的鏈子形成， k是網(wǎng)格的數(shù)量，包含風(fēng)扇所在的分支，它與分支的數(shù)量是相等的，在它的末端風(fēng)扇分支連接。 EH = [EHij]， EHij的定義如下：如果網(wǎng)格 i 包含分支 j 并且方向相同， EHij = 1，如果網(wǎng)格 i 包含分支 j 并且方向相反， EHij =1，如果網(wǎng)格 i 不包含分支 j， EHij =0?？紤]網(wǎng)格，包含風(fēng)扇所在分支，風(fēng)扇所在分支的降壓可表示為： mnj jmjH HHe ????1,i=1,…, k, (8) 或者 eHmH=Hm, (9) 這里 Hm是風(fēng)扇所在分支的降壓， eHm是 kn 矩陣，包括 eHmij。 j=1， … ，定義 n如下：如果網(wǎng)格 i 包含分支 j 并且同向， eHmij =1，如果網(wǎng)格 i 包含分支 j 并且反向， eHmij =1，如果網(wǎng)格 i 不包含分支 j ， eHmij = 0。風(fēng)扇分支的動(dòng)力學(xué)可以表達(dá)為 Hm =dRmQm ， (10) d表示風(fēng)扇引起的等效降壓的地方， Rm是在風(fēng)扇分支的阻力系數(shù) 非最小化網(wǎng)絡(luò)的模型 為了建立狀態(tài)方程，一必須尋找獨(dú)立變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)。由于樹和分支的概念，可能容易找到他們。因此第一步將描述包含這樣風(fēng)扇分支的礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的樹，并且采取分支的氣流流量分支作為狀態(tài)變量。為了便于分析，我們標(biāo)記從分支 1到 N nc +1 的 氣流流量，其中 N =n+1。定義 Q=???????????????????????????????nncNncNac??211, H=???????????????????????????????nncNncNacHHHHHH??211, (11) 因此 Qc和 Hc矩陣分別在各自的分支中表明氣流流量和降壓，在樹枝中描述 Qa和 Ha 矩 陣 ， 不 包 括 風(fēng) 扇 所 分 支 。 加上符號(hào)得： ????????? KaKcKnKKDQ nn 0 0),...,1(),...,( 112 ， (12) (1) 可以得出 KHRK D ??? 2? . (13) 題 . 有適當(dāng)?shù)拇笮〉木仃?A， B， C， YRQ， YQ和 Yd，以便充分表達(dá)礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)命令模型 CdBQRA D ??? 2? , (14) dYQYRQYQ dQDRQ ??? 2? , (15) 這里 Q 是狀態(tài)， R 和 D 是輸入量，而 H 是系統(tǒng)的排出量。 證明 . 可以將矩陣 EH, EQ,eHm和 eQm表達(dá)為： EH=[EHcEHa], EQ=[EQcEQa], (16) eHm =[eHmceHma],eQm =[eQmceQma], (17)這里 llHmcHc IeE????????, (18) )1()1( ?????? lNlNIE Qa , eQma =0. (19)現(xiàn)在我們通過分支的氣流來表達(dá)樹氣流流量。 從 (3)， (11)和 (16)，我們有 ? ? 0???????acQaQc EE , (20) 結(jié)合式子 (19)得出 cQccQcQaa QEQEEQ ???? ? 1 . (21) 現(xiàn)在通過分支的壓降來表達(dá)風(fēng)扇所在分支的壓降和樹的壓降。從 (7)， (9)和 (17)，我們可以得到