【正文】 第一篇：任意角三角函數(shù)的概念解讀“任意角三角函數(shù)的概念”教學設(shè)計陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學）一．內(nèi)容和內(nèi)容解析三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數(shù)學中其他學科的基礎(chǔ)．角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0176。~360176。內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學思想方法． 二．目標和目標解析本節(jié)課的目標是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．學生已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．要實現(xiàn)讓學生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的． 三．教學問題診斷分析從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學習，從認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學策略上先復(fù)習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．教學的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，點．四．教學支持條件分析利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學效果． 五．教學過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．意圖：復(fù)習初中所學習過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學習任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值．）內(nèi)的角，以便分散這個難問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？意圖：學生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？ 意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導(dǎo)學生勤于思考，逐步學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權(quán)交給學生，引導(dǎo)學生參與定義過程，發(fā)展思維．有兩種可能的回答．可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”引導(dǎo)學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）因為前面已經(jīng)有引導(dǎo)，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認識（對定義的體驗）問題6（1）求下列三角函數(shù)值：問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．問題6（3）指出下列函數(shù)值：意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）①確定下列三角函數(shù)的符號：②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認識三角函數(shù)在各象限中的符號．問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會？意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：（2）求下列三角函數(shù)值：6．小結(jié)問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數(shù)，今天又學習了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標檢測設(shè)計（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．（2）求下列三角函數(shù)的值：（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？讀書的好處行萬里路，讀萬卷書。書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。讀書破萬卷，下筆如有神。我所學到的任何有價值的知識都是由自學中得來的。——達爾文少壯不努力，老大徒悲傷。黑發(fā)不知勤學早，白首方悔讀書遲?！佌媲鋵殑︿h從磨礪出，梅花香自苦寒來。讀書要三到：心到、眼到、口到玉不琢、不成器，人不學、不知義。一日無書，百事荒廢?！悏?書是人類進步的階梯。1一日不讀口生，一日不寫手生。1我撲在書上，就像饑餓的人撲在面包上?！郀柣?書到用時方恨少、事非經(jīng)過不知難?！懹?讀一本好書，就如同和一個高尚的人在交談——歌德1讀一切好書，就是和許多高尚的人談話?！芽▋?學習永遠不晚?！郀柣?少而好學，如日出之陽；壯而好學，如日中之光；志而好學，如炳燭之光?！獎⑾?學而不思則惘，思而不學則殆?！鬃幼x書給人以快樂、給人以光彩、給人以才干?！喔诙骸度我饨侨呛瘮?shù)》說課稿《任意角三角函數(shù)》說課稿《任意角三角函數(shù)》說課稿1各位同仁，各位專家：我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內(nèi)容取自蘇教版高中實驗教科書《數(shù)學》第四冊 第1。2節(jié)先對教材進行分析教學內(nèi)容：任意角三角函數(shù)的定義、定義域，三角函數(shù)值的符號。地位和作用： 任意角的三角函數(shù)是本章教學內(nèi)容的基本概念對三角內(nèi)容的整體學習至關(guān)重要。同時它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學習作必要的準備，通過這部分內(nèi)容的學習，又可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念。所以這個內(nèi)容要認真探討教材，精心設(shè)計過程。教學重點：任意角三角函數(shù)的定義教學難點：正確理解三角函數(shù)可以看作以實數(shù)為自變量的函數(shù)、初中用邊長比值來定義轉(zhuǎn)變?yōu)樽鴺讼迪掠米鴺吮戎刀x的觀念的轉(zhuǎn)換以及坐標定義的合理性的理解；學情分析：學生已經(jīng)掌握的內(nèi)容，學生學習能力1。初中學生已經(jīng)學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。2。我們南山區(qū)經(jīng)過多年的初中課改，學生已經(jīng)具備較強的自學能力，多數(shù)同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。3。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強必須在老師一定的指導(dǎo)下才能進行針對對教材內(nèi)容重難點的和學生實際情況的分析我們制定教學目標如下知識目標：（1）任意角三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域；三角函數(shù)值的符號，能力目標：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號的推導(dǎo)，提高學生分析探究解決問題的能力。德育目標：（1）學習轉(zhuǎn)化的思想，（2）培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；針對學生實際情況為達到教學目標須精心設(shè)計教學方法教法學法：溫故知新，逐步拓展（1）在復(fù)習初中銳角三角函數(shù)的定義的基礎(chǔ)上一步一步擴展內(nèi)容，發(fā)展新知識，形成新的概念；（2）通過例題講解分析，逐步引出新知識，完善三角定義運用多媒體工具（1）提高直觀性增強趣味性。教學過程分析總體來說， 由舊及新，由易及難，逐步加強，逐步推進先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義給定定義后通過應(yīng)用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識拓展完善定義。具體教學過程安排引入： 復(fù)習提問：初中直角三角形中銳角的正弦余弦正切是怎樣定義的？由學生回答SinA=對邊/斜邊=BC/ABcosA=對邊/斜邊=AC/ABtanA=對邊/斜邊=BC/AC逐步拓展：在高中我們已經(jīng)建立了直角坐標系， 把“定義媒介”從直角三角形改為平面直角坐標系。我們知道，隨著角的概念的推廣，研究角時多放在直角坐標系里， 那么三角函數(shù)的定義能否也放到坐標系去研究呢？