三角函數(shù)公式及證明(已修改)
2024-10-15 00:28 本頁面
【正文】 第一篇：三角函數(shù)公式及證明三角函數(shù)公式及證明（本文由hahacjh@ 編輯整理 ）基本定義：在此單位圓中，弧AB的長(zhǎng)度等于a；B點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=cosa，縱坐標(biāo)y=sina ；（由 三角形OBC面積sinaatana（0ap2））：tana=sinacosa基本定理： sin2a+cos2a=1 ：asinA2=2bsinB2=csinC= 2R（R為三角形外接圓半徑）：a=b+:222。cosA=b+ca2bc222p2k177。asin219。costan219。cot奇變偶不變，符號(hào)看相線: ①sin(a②cos(a177。b)=sinacosb177。cosasinb177。b)=cosacosbmsinasinb推導(dǎo)結(jié)論(sina+cosa)22=1+sin2a1cosa2tana+1=：tan(a177。b)==sin(a177。b)230。sinacosb177。cosasinb246。231。247。231。=247。cos(a177。b)232。cosacosbmsinasinb248。tana177。tanb1mtanatanb（包含萬能公式）：2sinqcosq246。2tanq230。sin2q=2sinqcosq231。==247。222232。sinq+cosq248。1+tanq2222246。1tan2q247。=247。1+tan2q248。230。cos2qsin2qcos2q=cosqsinq=2cosq1=12sinq231。231。=sin2q+cos2q232。tan2q=sin2qcos2q=2tanq1tanq2sinq=221cos2q21+cos2q2=tanq1+tanq22cosq=：（符號(hào)的選擇由q2所在的象限確定）sinq2=177。1cosq21+cosq21cosq1+cosq sin2q2=1cosq21+cosq2 1cosq 1+cosq=2sin2q2 cosq2=177。 cos2q2==2cos2q2tanq2=177。sin=cossin=cosq2coscossinsinqqq2=1cosqqsinq22=2sinq1+cosqq2q2q21177。sinq=(cosq2177。sinq2)2=cosq2177。sinq2：sinacosb=121[sin(a+b)+sin(ab)]cosasinb=12[sin(a+b)sin(ab)]cosacosb=2[cos(a+b)+cos(ab)] sinasinb=12[cos(a+b)cos(ab)]：①sina③cosa +sinb=2sina+b2cosab22 ②sina ④cosasinb=2cosa+b22sinab22 +cosb=2cosa+b2cosabcosb=2sina+S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111BsinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=csinAsinB2sinC2=pr =p(pa)(pb)(pc)(海倫公式，證明見下文)(其中p= 12(a+b+c), r為三角形內(nèi)切圓半徑)定理結(jié)論的證明：本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第I卷 ：做三角形外接圓進(jìn)行證明；需利用結(jié)論同弧所對(duì)的圓周角相等，及直徑所對(duì)圓周角為直角；同弧所對(duì)圓周角相等的證明：本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 ：本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 ：本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第II卷 命題12,：同理可證sin(cos(3p23p2+a)=sin(p++a)=cos(p+p2+a)=sin(p2+a)=cosa+a)=sinap2+a)=cos(:sin(a+b)=sin(a(b))可得sin(a+b)的結(jié)論:本證明選自 第二篇：三角函數(shù)變換公式兩角和公式cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(αβ)=sinαcosβ –cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1tanαtanβ)tan(αβ)=(tanαtanβ)/(1+tanαtanβ)cot(α+β)=(cotαcotβ1)/(cotβ+cotα)cot(αβ)=(cotαcotβ+1)/(cotβcotα)和差化積sinα+sinβ= 2sin[(α+β)/2] cos[(αβ)/2]sinαsinβ= 2cos[(α+β)/2] sin[(αβ)/2]cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2] cos[(αβ)/2]cosαcosβ=2sin[(α+β)/2] sin[(αβ)/2]tanα+tanβ=sin(α+β)/cosαcosβ=tan(α+β)(1tanαtanβ)tanαtanβ=sin(αβ)/cosαcosβ=tan(αβ)/(1+tanαtanβ)積化和差sinαsinβ =[cos(α+β)cos(αβ)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(αβ)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(αβ)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)sin(αβ)]/2 銳角三角函數(shù)公式正弦：sin α=∠α的對(duì)邊/∠α 的斜邊余弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊正切：tan α=∠α的對(duì)邊/∠α的鄰邊余切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對(duì)邊 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系tanα= sinα/ cosα ；cotα= cosα/ sinα；secα＝1 /cosα ；cscα＝1/ sinα； 倒數(shù)關(guān)系:tanα cotα＝1sinα cscα＝1cosα secα＝1商的關(guān)系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系：sin2(α)＋cos2(α)＝11＋tan2(α)＝sec2(α)1＋cot2(α)＝csc2(α)二倍角公式：正弦sin2α=2sinαcosα余弦co
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