20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章7．1點到直線的距離公式、7．2向量的應(yīng)用舉例練習(xí)題含答案(已修改)
2024-12-14 00:13 本頁面
【正文】 167。 7 向量應(yīng)用舉例 7． 1 點到直線的距離公式 7． 2 向量的應(yīng)用舉例 , ) 1． 問題導(dǎo)航 (1)已知直線 l 的方向向量 (M， N)或法向量 (A， B)， 如何設(shè) l 的方程？ (2)向量可以解決哪些常見的幾何問題？ (3)向量可以解決哪些物理問題？ 2．例題導(dǎo)讀 P102例 ，學(xué)會利用點到直線的距離公式計算點到直線的距離． 試一試：教材 P102練習(xí) T1， T2， T3你會嗎 ？ P102例 ，學(xué)會利用向量方法解答平面幾何問題的方法步驟． 試一試：教材 P104習(xí)題 2－ 7 B 組 T1你會嗎？ P103例 3，例 ，學(xué)會利用向量方法解答物理中位移、力等問題． 試一試：教材 P104習(xí)題 2－ 7 A組 T3， B 組 T2你會嗎？ 1． 直線 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的法向量 (1)與直線的方向向量 垂直 的向量稱為該直線的法向量 ． (2)若直線 l 的方向向量 v＝ (B， － A)， 則直線 l 的法向量 n＝ (A， B)． (3)與直線 l 的法向量 n同向的單位向量 n0＝ n|n|＝ ??? ???AA2＋ B2， BA2＋ B2 ． 2． 點到直線的距離公式 點 M(x0， y0)到直線 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距離 d＝ |Ax0＋ By0＋ C|A2＋ B2 ． 3． 用向量解決平面幾何中的問題 (1)證明線段平行或相等 ， 可以用向量的數(shù)乘、平行向量定理 ． (2)證明線段垂直 ， 可以用向量數(shù)量積運算 ． (3)利用向量數(shù)量積運算 ， 可以求線段的長度、夾角及平面圖形的面積 ． 4． 用向量解決解析幾何中的問題 解析幾何是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究圖形的性質(zhì) ， 這類問題大多 適用于向量的坐標(biāo)運算 ， 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 ， 設(shè)出向量的坐標(biāo) ， 將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的線性運算或數(shù)量積的運算 ． 5． 向量在物理中的應(yīng)用 向量有著豐富的物理背景 ， 向量的物理背景是位移、力、速度等 ， 向量數(shù)量積的物理背景是力所做的功 ， 因此 ， 利用向量可以解決一些物理問題 ． 用向量法解決物理問題時 ， 要作出相應(yīng)的幾何圖形 ， 以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型 ． 向量在物理中的應(yīng)用 ， 如求力的合成與分解 ， 力做功 等 ， 實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題 ， 然后通過向量運算解決向量問題 ， 最后再用獲得的結(jié)果解釋物 理現(xiàn)象 ． 1． 判斷正誤 ． (正確的打 “√” ， 錯誤的打 “” ) (1)求力 F1和 F2的合力可按照向量加法的三角形法則求解 ． ( ) (2)若 △ ABC 為直角三角形 ， 則有 AB→ AC→ ＝ 0.( ) (3)若向量 AB→ ∥ CD→ ， 則 AB∥ CD.( ) 解析： (1)正確 ． 物理中的力既有大小又有方向 ， 所以力可以看作向量 ， F1， F2 的合力可按照向量加法的三角形法則求解 ． (2)錯誤 ． 因為 △ ABC為直角三角形 ， 角 A 并不一定是直角 ， 有可能是角 B 或角 C為直角 ． (3)錯誤 ． 向量 AB→ ∥ CD→ 時 ， 直線 AB∥ CD 或 AB， CD 重合 ． 答案： (1)√ (2) (3) 2． 已知 A， B， C， D 四點的坐標(biāo)分別為 (1， 0)， (4， 3)， (2， 4)， (0， 2)， 則此四邊形為 ( ) A． 梯形 B． 菱形 C． 矩形 D． 正方形 解析： 選 → ＝ (3， 3)， CD→ ＝ (－ 2， － 2)， 所以 AB→ ＝－ 32CD→ ， AB→ 與 CD→ 共線 ， 但 |AB→ |≠|(zhì)CD→ |， 故此四邊形 為梯 形 ． 3． 兩個大小相等的共點力 F1， F2， 當(dāng)它們間的夾角為 90176。時合力大小為 20 N， 則當(dāng)它們的夾角為 120176。時 ， 合力的大小為 ________N. 解析： 根據(jù)題意 ， 當(dāng) F1， F2夾角為 90176。時 ， |F1|2＋ |F2|2＝ 202， 因為 |F1|＝ |F2|， 所以 |F1|＝ |F2|＝ 10 2， 則當(dāng) F1， F2夾角為 120176。時 ， 它們的合力大小為 |AC→ |＝ 10 2. 答案： 10 2 4． 在 △ ABC 中 ， 若 C＝ 90176。， AC＝ BC＝ 4， 則 BA→ BC→ ＝ ________. 解析： 因為 C＝ 90176。， AC＝ BC＝ 4， 所以 △ ABC 為等腰直角三角形 ， 所以 BA＝ 4 2， ∠ ABC＝ 45176。， 所以 BA→ BC→ ＝ 16. 答案： 16 1． 對直線 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的方向向量及法向量的兩 點說明 (1)設(shè) P1(x1， y1)， P2(x2， y2)為直線上不重合的兩點 ， 則 P1P2→ ＝ (x2－ x1， y2－ y1)及其共線的向量 λP1P2→ 均為直線的方向向量 ． 顯然當(dāng) x1≠ x2時 ， 向量 ??? ???1， y2－ y1x2－ x1與 P1P2→ 共線 ， 因此向量 ?? ??1， － AB ＝ 1B(B， － A)為直線 l的方向向量 ， 由共線向量的特征可知 (B， － A)為直線 l 的方向向量 ． (2)結(jié)合法向量的定義可知 ， 向量 (A， B)與 (B， － A)垂直 ， 從而向量 (A， B)為直線 l的法向量 ． 2． 向量法在幾何證明與計算中的幾個主要應(yīng)用 (1)A、 B、 C 三點共線的證法 只需證 AB→ ＝ λBC→ 或 AB→ ＝ (x1， y1)， BC→ ＝ (x2， y2)滿足 x1y2－ x2y1＝ 0. (2)證明 AB⊥ AC 的方法 只需證 AB→ AC→ ＝ 0. (3)求 A、 B 兩點間距離的方法 可把 AB→ 表示成 λa＋ μb或者求坐標(biāo) (x， y)， 然后利用向量的運算求解 ． (4)求 ∠ AOB 的方法 利用數(shù)量積定義的變形 cos∠ AOB＝ OA→ OB→|OA→ ||OB→ |. 3． 向量在物理中應(yīng)用時應(yīng)注意的三個問題 (1)把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ， 也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型 ． (2)利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象 ． (3)在解決具體問題時 ， 要明確和掌握用向量方法研究物理問題的相關(guān)知識： ① 力、速度、加速度和位移都是向量； ② 力、速度、加速度和位移的合成與分解就是向量的加、減法； ③ 動量 mv是數(shù)乘向量； ④ 功是力 F與在力 F的作用下物體所產(chǎn)生 的位移 s的數(shù)量積 ． 向量在解析幾何中的應(yīng)用 (1)經(jīng)過點 A(－ 1， 2)， 且平行于向量 a＝ (3， 2)的直線方程是 ________． (2)已知圓 C： (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 4 及點 A(1， 1)， M 是圓 C 上的任一點 ， 點 N 在線段MA 的延長線上 ， 且 MA→ ＝ 2AN→ ， 求點 N 的軌跡方程 ． [解 ] (1)在直線上任 取一點 P(x， y)， 則 AP→ ＝ (x＋ 1， y－ 2)， 由 AP→ ∥ a， 得 (x＋ 1) 2－ (y－ 2) 3＝ 0， 即 2x－ 3y＋ 8＝ 2x－ 3y＋ 8＝ 0. (2)設(shè) N(x， y)， M(x0， y0)． 因為 MA→ ＝ 2AN→ ， 所以 (1－ x0，
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