212數(shù)列的遞推公式(選學(xué))學(xué)案人教b版必修5(已修改)
2024-12-04 15:45 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)列的遞推公式 (選學(xué) ) 自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理 1． 通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系 定義 不同點(diǎn) 相同點(diǎn) 通項(xiàng)公式 如果數(shù)列 {an}的第 n 項(xiàng) an與項(xiàng)數(shù) n 之間的關(guān)系可用一個(gè)函數(shù)式 an＝ f(n)來(lái)表示，則這個(gè)公式稱為 {an}的通項(xiàng)公式 給出 n 的值，可求出{an}的第 n 項(xiàng) an 可確定一個(gè)數(shù)列；可求出數(shù)列中任意一項(xiàng) 遞推公式 如果已知數(shù)列 {an}的第一項(xiàng) (或前幾項(xiàng) )，且從第二項(xiàng) (或某一項(xiàng) )開(kāi)始的任一項(xiàng) an與前一項(xiàng) an－1(或前幾項(xiàng) )之間的關(guān)系可用一個(gè) 公式來(lái)表示，則這個(gè)公式叫做 {an}的遞推公式 由第一項(xiàng) (或前幾項(xiàng) )的值，經(jīng)過(guò)一次(或多次 )運(yùn)算，逐項(xiàng)地求出 an (1)累加法 ： an＋ 1＝ an＋ f(n) (f(n)可求和 ) an＝ a1＋ (a2－ a1)＋ (a3－ a2)＋ ? ＋ (an－ an－ 1)＝ a1＋ f(1)＋ f(2)＋ ? ＋ f(n－ 1)． (2)累乘法 ： an＋ 1＝ anf(n) (f(n)為含 n 的代數(shù)式 ) an＝ a1a2a1a3a2? anan－ 1＝ a1f(1)f(2)? f(n－ 1)． 3． 數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an與其前 n 項(xiàng)和 Sn之間的關(guān)系是 ： 當(dāng) n＝ 1時(shí) ， a1＝ S1， 當(dāng) n≥ 2時(shí) ，an＝ Sn－ Sn－ 1. 4． Sn與 an的混合關(guān)系式有兩個(gè)思路 (1)消去 Sn， 轉(zhuǎn)化為 an的遞推關(guān)系式 ， 再求 an； (2)消去 an， 轉(zhuǎn)化為 Sn的遞推關(guān)系式 ， 求出 Sn后 ， 再求 an. 自主探究 1． 已知數(shù)列 {an}， a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ 2， 試用累加法推導(dǎo) {an}的通項(xiàng)公式 ． 2． 已知數(shù)列 {an}， a1＝ 2， an＋ 1＝ 2an， 試用累乘法推導(dǎo) {an}的通項(xiàng)公式 ． 對(duì)點(diǎn)講練 知識(shí)點(diǎn)一 利用累加法求通項(xiàng)公式 例 1 已知 ： a1＝ 1， an＋ 1＝ an＋ (2n＋ 1)， 求 an. 總結(jié) 形如 an＋ 1＝ an＋ f(n)的遞推數(shù)列，常用累加法求其通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是不斷變換遞推公式中的 “ 下標(biāo) ” ． 變式訓(xùn)練 1 已知數(shù)列 {an}， a1＝ 1， 以后各項(xiàng)由 an＋ 1＝ an＋ 1n?n＋ 1?給出 ， 試用累加法求通項(xiàng)公式 an.(提示 ：
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