【正文】 時間序列分析 (Time Series Analysis) 第一節(jié) 時間序列分析的基本概念 經(jīng)濟(jì)分析通常假定所研究的經(jīng)濟(jì)理論中涉及的變量之間存在著長期均衡關(guān)系 。 按照這一假定 ， 在估計這些長期關(guān)系時 ， 計量經(jīng)濟(jì)分析假定所涉及的變量的均值和方差是常數(shù) ， 不隨時間而變 。 然而 ， 經(jīng)驗(yàn)研究表明 ， 在大多數(shù)情況下 ， 時間序列變量并不滿足這一假設(shè) ， 從而產(chǎn)生所謂的 “ 偽回歸 ” 問題 (‘ spurious’ regression problem)。 為解決這類問題，研究人員提出了不少對傳統(tǒng)估計方法的改進(jìn)建議，其中最重要的兩項(xiàng)是對變量的 非平穩(wěn)性 (nonstationarity) 的系統(tǒng)性檢驗(yàn) 和協(xié)整(cointegration)。 協(xié)整 協(xié)整分析被認(rèn)為是上世紀(jì)八十年代中期以來計量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最具革命性的進(jìn)展 。 簡單地說 ， 協(xié)整分析涉及的是一組變量 ， 它們各自都是不平穩(wěn)的 （ 含義是隨時間的推移而上行或下行 ） ， 但它們一起漂移 。 這種變量的共同漂移使得這些變量之間存在長期的線性關(guān)系 ， 因而使人們能夠研究經(jīng)濟(jì)變量間的長期均衡關(guān)系 。 如果這些長時間內(nèi)的線性關(guān)系不成立 ， 則對應(yīng)的變量被稱為是 “ 非協(xié)整的 ” (not cointegrated)。 誤差修正模型 一般說來，協(xié)整分析是用于非平穩(wěn)變量組成的關(guān)系式中長期均衡參數(shù)估計的技術(shù)。它是用于動態(tài)模型的設(shè)定、估計和檢驗(yàn)的一種新技術(shù)。 此外，協(xié)整分析亦可用于短期或非均衡參數(shù)的估計，這是因?yàn)槎唐趨?shù)的估計可以通過協(xié)整方法使用長期參數(shù)估計值，采用的模型是 誤差修正模型 (error correction model)。 在介紹上述方法之前，下面先介紹所涉及的一些術(shù)語和定義。 一 ． 平穩(wěn)性 （ Stationarity） 1. 嚴(yán)格平穩(wěn)性 (strict stationarity) 如果一個時間序列 Xt的聯(lián)合概率分布不隨時間而 變 ， 即對于任何 n和 k， X1,X2,… ， Xn的聯(lián)合概率分布 與 X1+k,X2+k,… Xn+k 的聯(lián)合分布相同 ， 則稱該時間序列 是嚴(yán)格平穩(wěn)的 。 2. 弱平穩(wěn)性 (weak stationarity) 由于在實(shí)踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定 ， 我們用隨機(jī)變量 Xt（ t=1,2,… ） 的均值 、 方差和協(xié)方差代替之 。一個時間序列是 “ 弱平穩(wěn)的 ” ， 如果： （ 1） 均值 E(Xt) =μ， t=1,2,… （ ） （ 2 ） 方差 Var(Xt) = E(Xt μ)2 =ζ2， t =1,2,… （ ） （ 3） 協(xié)方差 Cov(Xt, Xt+k） = E [(Xt μ)(Xt+k μ)]＝ rk， t=1,2,… ， k≠0 （ ） 3. 平穩(wěn)性和非平穩(wěn)性 通常情況下 ， 我們所說的平穩(wěn)性指的就是弱平穩(wěn)性 。一般來說 ， 如果一個時間序列的均值和方差在任何時間保持恒定 ， 并且兩個時期 t和 t+k之間的協(xié)方差僅依賴于兩時期之間的距離 （ 間隔或滯后 ） k， 而與計算這些協(xié)方差的實(shí)際時期 t無關(guān) ， 則該時間序列是平穩(wěn)的 。 只要這三個條件不全滿足 ， 則該時間序列是非平穩(wěn)的 。事實(shí)上 ， 大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時間序列是非平穩(wěn)的 。 例如 ， 在圖 ， 某國的私人消費(fèi) （ CP） 和個人可支配收入 （ PDI）這兩個時間序列都有一種向上的趨勢 ， 幾乎可以斷定它們不滿足平穩(wěn)性條件 （ ） ， 因而是非平穩(wěn)的 。 某國私人消費(fèi)和個人可支配收入，1960—1995年度數(shù)據(jù)單位：百萬美元（1970年不變價）1000002023003000004000005000006000001960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995CPPDI 二 ． 幾種有用的時間序列模型 白噪聲 （ White noise） 白噪聲通常用 εt表示 ， 是一個純粹的隨機(jī)過程 ， 滿足 : （ 1） E(εt) = 0 , 對所有 t成立； （ 2） V ar(εt) = ζ2，對所有 t成立； （ 3） Cov (εt, εt+k) = 0，對所有 t和 k≠0成立。 白噪聲可用符號表示為： εt～ IID(0, ζ2) （ ） 注：這里 IID為 Independently Identically Distributed（獨(dú)立同分布 )的縮寫。 隨機(jī)漫步 （ Random walk） 隨機(jī)漫步是一個簡單隨機(jī)過程 ， 由下式確定： Xt = Xt－ 1+εt （ ） 其中 εt為白噪聲 。 Xt的均值： E(Xt） = E(Xt1+εt） = E(Xt－ 1) + E(εt) = E(Xt－ 1) 這表明 Xt的均值不隨時間而變 。 為求 Xt的方差 ， 對 （ ） 式進(jìn)行一系列置換： Xt = Xt－ 1+εt = Xt－ 2+εt1+εt = Xt－ 3+εt2+εt1+εt =…… = X0+ε1+ε2+…… +εt = X0+∑εt 其中 X0是 Xt的初始值 ， 可假定為任何常數(shù)或取初值為 0， 則 2110 )()()(???tVarXVarXVarttttttt???? ???? 這表明 Xt的方差隨時間而增大，平穩(wěn)性的第二個條件（ ）不滿足，因此，隨機(jī)漫步時間序列是非平穩(wěn)時間序列?？墒?，若將（ ）式寫成一階差分形式： ΔXt=εt （ ) 這個一階差分新變量 ΔXt是平穩(wěn)的，因?yàn)樗偷扔诎自锫?εt，而后者是平穩(wěn)時間序列。 帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)漫步 (Random walk with drift) Xt=μ+Xt－ 1+εt （ ） 其中 μ是一非 0常數(shù) ， εt為白燥聲 。 μ之所以被稱為 “ 漂移項(xiàng) ” ， 是因?yàn)?（ ） 式的一階差分為 ΔXt = Xt－ Xt1 =μ+εt 這表明時間序列 Xt向上或向下漂移 ， 取決于 μ的符號是正還是負(fù) 。 顯然 ， 帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)漫步時間序列也是非平穩(wěn)時間序列 。 自回歸過程 隨機(jī)漫步過程 （ ） （ Xt = Xt－ 1+εt） 是最簡單的非平穩(wěn)過程 。 它是 Xt=θXt－ 1+εt （ ） 的特例 ， （ ） 稱為一階自回歸過程 （ AR(1）） ，該過程在－ 1＜ θ＜ 1時是平穩(wěn)的 ， 其他情況下 ， 則為非平穩(wěn)過程 。 更一般地，（ ）式又是 Xt=θ1Xt－ 1+θ2Xt－ 2+……+θ qXtq+εt （ ） 的特例，（ ）稱為 q階自回歸過程（ AR(q））。 可以證明，如果特征方程 1－ θ1L－ θ2L2－ θ3L3－ …… － θqLq = 0 （ ） 的所有根的絕對值均大于 1，則此過程（ ）是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)過程。 三 ． 單整的時間序列 （ Integrated series） 從 （ ） 可知 ， 隨機(jī)漫步序列的一階差分序列 ΔXt = Xt－ Xt1是平穩(wěn)序列 。 在這種情況下 ， 我們說原非平穩(wěn)序列 Xt是 “ 一階單整的 ” ， 表示為 I(1)。 與此類似 ， 若非平穩(wěn)序列必須取二階差分 (Δ2Xt=ΔXt－ ΔXt1)才變?yōu)槠椒€(wěn)序列 ， 則原序列是 “ 二階單整的 ” ， 表示為 I(2)。 一般地 ， 若一個非平穩(wěn)序列必須取 d階差分才 變 為 平 穩(wěn) 序 列 ， 則 原 序 列 是 “ d 階 單 整的 ” (Integrated of order d)， 表示為 I(d)。 由定義不難看出 ， I(0） 表示的是平穩(wěn)序列 ， 意味著該序列無需差分即是平穩(wěn)的 。 另一方面 ， 如果一個序列不管差分多少次 ， 也不能變?yōu)槠椒€(wěn)序列 ， 則稱為“ 非單整的 ” 。 第二節(jié) 平穩(wěn)性的檢驗(yàn) 平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方法可分為兩類：傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代方法 。 前者使用自相關(guān)函數(shù) (Autocorrelation fu