新人教a版高中數學選修2-1第三章空間向量與立體幾何章末復習課件(已修改)
2024-12-03 19:50 本頁面
【正文】 章末歸納總結 1．空間向量的概念及其運算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關的運算律仍然成立．空間向量的數量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣． 2． ab＝ 0?a⊥ b是數形結合的紐帶之一，這是運用空間向量研究線線、線面、面面垂直的關鍵，通常可以與向量的運算法則、有關運算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題． 4．直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念，通過研究方向向量與法向量之間的關系，可以來確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關系以及有關的計算問題． 3 ．公式 c os 〈 a ， b 〉＝a b| a| |b |是應用空間向量求空間中各種角的基礎，用這個公式可以求兩異面直線所成的角 ( 但要注意兩異面直線所成角與兩向量的夾角在取值范圍上的區(qū)別 ) ，再結合平面的法向量，可以求直線與平面所成的角和二面角等． 5． 用空間向量判斷空間中的位置關系的常用方法 (1)線線平行 證明兩條直線垂直 ， 只需證明兩條直線的方向向量是共線向量 ． (2)線線垂直 證明兩條直線平行 ， 只需證明兩直線的方向向量垂直 ，即 a⊥ b?ab＝ 0. (3)線面平行 用向量證明線面平行的方法主要有： ① 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直； ② 證明可在平面內找到一個向量與直線方向向量是共線向量 ， ③ 利用共面向量定理 ， 即證明可在平面內找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量 ． (4)線面垂直 用向量證明線面垂直的方法主要有： ① 證明直線方向向量與平面法向量平行； ② 利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題 ． (5)面面平行 ① 證明兩個平面的法向量平行 (即是共線向量 )； ② 轉化為線面平行 、 線線平行問題 ． (6)面面垂直 ① 證明兩個平面的法向量互相垂直； ② 轉化為線面垂直 、 線線垂直問題 ． 6． 運用空間向量求空間角 (1)求兩異面直線所成角 利用公式 c os 〈 a ， b 〉＝a b| a| |b |， 但務必注意兩異面直 線所成角 θ 的范圍是??????0 ，π2， 故實質上應有： c os θ ＝ | c os a ， b | . (2)求線面角 求直線與平面所成角時 ， 一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量 ， 通過數量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量 ， 先求出直線方向向量與平面法向量的夾角 θ其關系是 sinθ＝ | cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義 ， 在兩個面內先求出與棱垂直的兩條直線對應的方向向量 ， 然后求出這兩個方向向量的夾角 ， 由此可求出二面角的大??；另一種方法是轉化為求二面角的兩個面的法向量的夾角 ， 它與二面角的
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