高中數(shù)學(xué)341基本不等式課件新人教a版必修5(已修改)
2024-12-03 19:03 本頁(yè)面
【正文】 基本不等式 : 第 1課時(shí) 基本不等式 1 . 理解并掌握基本不等式及其推導(dǎo)過(guò)程 , 明確基本不等式成立的條件 . 2 . 能利用基本不等式求代數(shù)式的最值 . 1 2 1 . 重要不等式 當(dāng) a , b 是任意實(shí)數(shù)時(shí) , 有 a2+b2≥ 2a b , 當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí) , 等號(hào)成立 . ( 1 ) 公式中 a , b 的取值是任意的 , a 和 b 代表的是實(shí)數(shù) ,它們既可以是具體的數(shù)字 ,也可以是比較復(fù)雜的代數(shù)式 ,因此其應(yīng)用范圍比較廣泛 .今后有不少不等式的證明就是根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化 ,使之可以利用該公式來(lái)證明 . ( 2 ) 公式中 a2+b2≥ 2a b 常變形為 ab ≤a2+ b22或 a2+b2+ 2a b ≥ 4a b 或2 ( a2+b2) ≥ ( a + b )2等形式 ,要注意靈活掌握 . 1 2 【做一做 1 】 已知 x2+y2=4 , 則 xy 的最大值是 ( ) A.12 B. 1 C. 2 D. 4 答案 : C 1 2 2 . 基本不等式 ( 1 ) 有關(guān)概念 : 當(dāng) a , b 均為正數(shù)時(shí) , 把a(bǔ) + b2叫做正數(shù) a , b 的算術(shù)平均數(shù) , 把 ab 叫做正數(shù) a , b 的幾何平均數(shù) . ( 2 ) 不等式 : 當(dāng) a , b 是任意正實(shí)數(shù)時(shí) , a , b 的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) , 即 ab ≤a + b2, 當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí) , 等號(hào)成立 . 1 2 ( 3 ) 幾何意義 : 半弦不大于半徑 . 如圖所示 , A C = a , C B = b , 則OD=a + b2, D C = ab =12DE , 則 DC ≤ OD. ( 4 ) 變形 : ab ≤ a + b2 2, a + b ≥ 2 ab ( 其中 a 0 , b 0 , 當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)等號(hào)成立 ) . 1 2 從數(shù)列的角度看 , a , b 的算術(shù)平均數(shù)是 a , b 的等差中項(xiàng) ,幾何平均數(shù)是 a , b 的正的等比中項(xiàng) ,則基本不等式可表示為 : a 與 b 的正的等比中項(xiàng)不大于它們的等差中項(xiàng) . 【做一做 2 】 已知 a b= 16 , a 0 , b 0 , 則 a + b 的最小值為 . 答案 : 8 1 . 應(yīng)用基本不等式 ab ≤a + b2求最值的條件 剖析 :應(yīng)用基本不等式 ab ≤a + b2求最值的條件是 “ 一正、二定、三相 ”等 ,具體如下 : 一正 : a , b 都是正實(shí)數(shù) ,即所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù) ,否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的答案 .例如 ,當(dāng) x 0 時(shí) ,函數(shù) f ( x ) = x+1x≥ 2 x 1x=2 ,所以函數(shù) f ( x ) 的最小值是 2. 由于 f ( 2 )
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