北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-211回歸分析(已修改)
2024-12-03 15:04 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)學(xué)：１．１ 《 回歸分析 》 回歸分析 概述 回歸分析 ——研究變量與變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。 變量之間的關(guān)系： 確定性關(guān)系 函數(shù)關(guān)系 ， 經(jīng)反復(fù)的精確試驗(yàn)或嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到 。 如 S= v﹒ t 。 數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中的大多數(shù)公式屬于這種類(lèi)型 。 到方差分析 實(shí)際問(wèn)題中 ， 絕大多數(shù)情況下 ， 變量之間的關(guān)系不那么簡(jiǎn)單 。 如材料的抗拉強(qiáng)度與其硬度之間的關(guān)系；材料的性能與其化學(xué)成份之間等等 。 這些變量之間既存在著密切的關(guān)系 ， 又不能由一個(gè) （ 或幾個(gè) ） 變量 （ 自變量 ） 的數(shù)值精確地求出另一個(gè)變量 （ 因變量 ） 的數(shù)值 ， 而是要通過(guò)試驗(yàn)和調(diào)查研究 ， 才能確定它們之間的關(guān)系 ， 如 圖 ， 雖然各組數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確地服從 f(x)關(guān)系 ， 但 y值總還是隨 x的增加而增加 。 我們稱(chēng)這類(lèi)變量之間的關(guān)系為 相關(guān)關(guān)系 。 相關(guān)關(guān)系 圖5 . 1 相關(guān)關(guān)系02468101214160 5 10 15 20xy 雖然各組數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確地服從 f(x)關(guān)系 ， 但 y值總還是隨 x的增加而變化 。 概述 回歸分析的主要內(nèi)容： 應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法 ， 對(duì)大量的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理 ，從而得出比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式 （ 數(shù)學(xué)模型 ） 。 ),( 21 Ncccxfy ?? （ 51） 待定常數(shù) 5 .2 最小二乘法原理 假設(shè) x 和 y 是具有某種相關(guān)關(guān)系的物理量 ， 它們之間的關(guān)系可用下式給出： 5 .2 最小二乘法原理 同時(shí)測(cè)量 x ， y 的數(shù)值 ， 設(shè)有 m 對(duì)觀測(cè)結(jié)果： ),(,),(),( 2211 mm yxyxyx ? 利用觀測(cè)值 ， 確定 。 設(shè) x， y 關(guān)系的最佳形式為： Nccc , 21 ?)?,?,?,(? 21 Ncccxfy ??（ 52） （ 53） 最佳估計(jì)值 如不存在測(cè)量誤差，則： micccxfy Nii ?? ,2,1),( 21 ?? （ 54） 由于存在測(cè)量誤差 ， 因而式 （ 53） 與 （ 54） 不相重合 ， 即有： miyye iii ,2,1? ???? （ 55） 殘差 ——誤差的實(shí)測(cè)值 5 .2 最小二乘法原理 式 （ 5—3） 中的 x 變化時(shí) ， y 也隨之變化 。 如果 m 對(duì)觀測(cè)值中有比較多的 y 值落到曲線 （ 5—1） 上 ， 則所得曲線就能較為滿(mǎn)意地反映被測(cè)物理量之間的關(guān)系 ， y 值同時(shí)出現(xiàn)的概率最大 ，則曲線 （ 5—3） 就是曲線 （ 5—1） 的最佳形式 。 如 圖 。如果誤差服從正態(tài)分布 ， 則概率 P(e1, e2, … , em)為： ??????? mi imi iieyyS1212)?( （ 5—7） 當(dāng) P最大時(shí) ， 求得的曲線就應(yīng)當(dāng)是最佳形式 。 從圖 51a中可以看出 ， 顯然 ， 此時(shí)下式應(yīng)最?。? ?????? ??? ??miiimyyeeeP1 2221 2)?(e x p21),(????（ 5—6） 即殘差平方和最小 ， 這就是最小二乘法原理的由來(lái) 。 圖 iy?38141514108y = 3 2 + 0246810121416180 5 10 15 20xyx 1 3 6 8 10 13 163 8 14 15 14 10 8y i e i iy?5 .2 最小二乘法原理 這里假定 xi 無(wú)誤差。式（ 5—7）可以寫(xiě)成： ? ????? mi NiicccxfyS1221 )?,?,?,( ?（ 5—8） S最小，就應(yīng)有： 0,0,021?????????NcScScS ?（ 5—9） 即要求求解如 下聯(lián)立方程組： ? ?? ?? ????????????????????????????????????????????????0)?,?,?,(0)?,?,?,(0)?,?,?,(12121211121NmiNiimiNiimiNiicfcccxfycfcccxfycfcccxfy???????????????????（ 5—10） 正規(guī)方程 ， 最小二乘解 。 直線的回歸 一元直線回歸分析 對(duì)一元線性回歸而言 ， 就是配直線的問(wèn)題 ， 下面通過(guò)例題加以分析說(shuō)明 。 例 研究腐蝕時(shí)間與腐蝕深度兩個(gè)變量之間的關(guān)系，可把腐蝕時(shí)間作為自變量 x ， 把腐蝕深度作為因變量 y ， 將試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在 表 51中。求出 x， y之間的線性關(guān)系。 解： 將 表 51中的 (x, y) 數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)地做出一系列的點(diǎn)，可得 圖 ，這種圖稱(chēng)之為散點(diǎn)圖。 與 x 的關(guān)系大致呈直線關(guān)系，但并不是確定性的關(guān)系，而是一種相關(guān)關(guān)系： y?bxay ???回歸系數(shù) （ 5—11） 最佳估計(jì)值應(yīng)使其殘差平方和最小，殘差為： )( iii bxaye ???（ 5—12） 圖 5—表 5—1 時(shí)間 x ， m in 3 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120腐蝕深度 y ， ? u 40 60 80 130 160 170 190 250 250 290 460表 51 試驗(yàn)數(shù)據(jù) 圖5 —2 散點(diǎn)圖y = 3 . 2 1 4 9 x + 4 5 . 0 0 7R2 = 0 . 9 7 1 101002003004005000 20 40 60 80 100 120 140時(shí)間 x腐蝕深度 ybxay ???. 其平方和為： ? ?2112 )(????????miiimii bxayeS（ 5—13） 平方和最小，即： ? ??????????????????????????0)(20)(211miiiimiiibxayxbSbxayaS（ 5—14） 得正規(guī)方程組： ?????????????????????imiimiimiimiimiiyxxbxayxbam112111 （ 5—15） 令平均值為： ?????????????miimiimyymxx11 （ 5—16） 由 5—11得： ?????????xbyayxba（ 5—17） （ 5—18） 由 式（ 5—15） 得： ? ?? ??? ?? ?????????????????????????????mimiiimimiimiiiixmxyxmyxb12121 1111 ????????miimiiixxyyxxb121)())((（ 5—19） 式中 ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ????????????mimimiiiiimiiimimimiiiiimiiiyxmyxyxmyxyxmxyyxyxyyxx1 1 111 1 11))((1)()())((（ 5—20） 由式 (518)和式 (519)可以
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