【正文】 第五章 多目標(biāo)決策分析 廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 一、目標(biāo)準(zhǔn)則體系的意義 ? 在決策分析中，決策問題要達(dá)到的目的稱為決策目標(biāo)，用數(shù)值表示決策方案實現(xiàn)某個目標(biāo)程度的標(biāo)準(zhǔn)和法則，稱為決策準(zhǔn)則。 ? 在多目標(biāo)決策問題中，其目標(biāo)或者經(jīng)過逐層分解，或者依據(jù)決策主體要求和實際情況需要，形成的多層次結(jié)構(gòu)的子目標(biāo)系統(tǒng)，使得在最低一層子目標(biāo)可以用單一準(zhǔn)則進(jìn)行評價，稱之為目標(biāo)準(zhǔn)則體系。 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)則體系應(yīng)注意的原則：一是系統(tǒng)性原則。二是可比性原則，三是可操作性原則。 ? 二、目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu) （一）單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 各個目標(biāo)都屬于同一層次，每個目標(biāo)無須分解就可以用單準(zhǔn)則給出定量評價。 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 圖 51 單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 總目標(biāo) 目標(biāo) m 目標(biāo) m1 目標(biāo) 2 目標(biāo) 1 …… 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? （二）序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 目標(biāo)準(zhǔn)則體系的各個目標(biāo)，均可以按序列分解為若干低一層次的子目標(biāo)，各子目標(biāo)又可以繼續(xù)分解，這樣一層層按類別有序地進(jìn)行分解，直到最低一層子目標(biāo)可以按某個準(zhǔn)則給出數(shù)量評價為止。 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? （三）非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 某一層次的各子目標(biāo)，一般不單是由相鄰上一層次某子目標(biāo)分解而成，各子目標(biāo)也不能按序列關(guān)系分屬各類。相鄰兩層次子目標(biāo)之間，僅按自身的屬性建立聯(lián)系，存在聯(lián)系的子目標(biāo)之間用實線連結(jié)，無實線連結(jié)的子目標(biāo)之間，不存在直接聯(lián)系。這類目標(biāo)準(zhǔn)則體系稱為非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系。 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 三、評價準(zhǔn)則和效用函數(shù) ? 在多目標(biāo)決策中，制定了目標(biāo)準(zhǔn)則體系，不同的目標(biāo)用不同的評價準(zhǔn)則衡量。因此，必須將不同度量單位的準(zhǔn)則，化為無量綱統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)度，并按特定的法則和邏輯過程進(jìn)行歸納與綜合，建立各可行方案之間具有可比性的數(shù)量關(guān)系。 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 ? 多目標(biāo)決策中均可以由目標(biāo)準(zhǔn)則體系的全部結(jié)果值所確定?？尚蟹桨冈诿恳粋€目標(biāo)準(zhǔn)則下，確定 —個結(jié)果值，對目標(biāo)準(zhǔn)則體系，就得到一組結(jié)果值，并經(jīng)過各目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)，得出一組效用值。這樣，任何一個可行方案在總體上對決策主體的滿意度，通過這些效用值按照某種法則并合而得，滿意度是綜合評價可行方案的依據(jù)。 第一節(jié) 多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系 四、目標(biāo)準(zhǔn)則體系風(fēng)險因素的處理 ?多目標(biāo)決策的風(fēng)險因素，應(yīng)該在目標(biāo)準(zhǔn)則體系中對涉及風(fēng)險因素的各子目標(biāo)分別加以處理。對存在風(fēng)險因素的所有目標(biāo)準(zhǔn)則都分別作這樣的技術(shù)處理。于是，風(fēng)險型多目標(biāo)問題就轉(zhuǎn)化為確定型多目標(biāo)問題。 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? 一、多維效用并合模型 在圖 52中，設(shè) H表示可行方案的總效用值，即滿意度 v1， v2， ...， vi ，表示第二層子目標(biāo)的效用值，如此類推， w1， w2， ...， wj 表示倒數(shù)第二層各子目標(biāo)的效用值； u1， u2， ...，us表示最低一層各準(zhǔn)則的效用值。符號“ ● ”表示按某種規(guī)則和邏輯程序進(jìn)行的效用并合運算。效用并合過程從下到上，逐層進(jìn)行。 H v1 w2 w1 v2 w4 w3 vi wk wk1 u2 u1 ul ul1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... us us1 ... 圖 52 序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 第二節(jié) 多維效用并合方法 1 1 2211( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i ii p i p ik i s i s iw a u a u aw a u a u aw a u a u a??? ? ?? ? ?? ? ?最低一層各準(zhǔn)則的效用，經(jīng)過并合得到 第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各 目標(biāo)的并合效用值 12( ) , ( ) , , ( )i i l iv a v a v a 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? 最后，可行方案 ai 的滿意度 ? 多維效用并合的最滿意方案為 a* ，其滿意度 12( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1 , 2 , , )i i i i l iH H a v a v a v a i m? ? ? ? ? ? 第二節(jié) 多維效用并合方法 二、多維效用并合規(guī)則 在多目標(biāo)決策中，根據(jù)決策目標(biāo)的不同屬性，效用并合采取不同方式進(jìn)行。 （一）距離規(guī)則 二維效用并合的距離規(guī)則滿足如下條件：當(dāng)二效用同時達(dá)到最大值時，并合效用達(dá)到最大值；當(dāng)二效用同時取最小值時，并合效用取零效用值；二效用之一達(dá)到最大值，均不能使并合效用達(dá)到最大值。二維效用平面上其余各點效用值，與該點與并合效用最大值點的距離成正比例。這種并合規(guī)則稱之為距離規(guī)則。 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? ?221 2 1 21( , ) 1 1 [ ( 1 ) ( 1 ) ] 5 222dW u u u u? ? ? ? ? ? ? ? ?21211( , , , ) 1 ( 1 ) 5 3nniiu u u un ???? ? ??????設(shè)二維效用函數(shù) 公式 (52)可以推廣到多維情形， 成本和效益的效用并合應(yīng)該按距離規(guī)則進(jìn)行， 由公式（ 53）知，并合效用函數(shù) 221( , ) 1 ( 1 ) ( 1 )2c E c EW u u u u??? ? ? ? ??? 第二節(jié) 多維效用并合方法 （二）代換規(guī)則 二維效用并合的代換規(guī)則適合如下情況：二效用對決策主體具有同等重要性，只要其中一個目標(biāo)的效用取得最大值，無論其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也達(dá)到最高水平，與二效用均達(dá)到最高水平一樣。 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? ?1 2 1 2 1 2 1 2( , ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 5 4W u u u u u u u u? ? ? ? ? ? ?代換規(guī)則的二維效用并合公式為 ? ?121( , , , ) 1 ( 1 ) 5 5nniiW u u u u?? ? ??推廣到多維情形， n維效用并合的代換規(guī)則 公式為 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? （三）加法規(guī)則 ? 二維效用并合的加法規(guī)則適用于如下情況：二效用的變化具有相關(guān)性，對并合效用的貢獻(xiàn)沒有本質(zhì)差異，并且可以互相線性地補(bǔ)償，即一目標(biāo)效用的減少可以由另一目標(biāo)效用值的增加得到補(bǔ)償。 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? ?1 2 1 1 2 2 1 2( , ) , ( 1 ) 5 6W u u u u? ? ? ?? ? ? ?? ?121( , , , ) 5 7nn i iiW u u u u??? ?加法規(guī)則 n的維并合效用公式為 加法規(guī)則的二維效用并合公式為 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? （四）乘法規(guī)則 ? 乘法規(guī)則適用于如下情況：二目標(biāo)效用對于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代，只要其中任意一個目標(biāo)效用值為 0，無論另一個目標(biāo)效用取值多大，并合效用值均為 0。 ? ?? ?? ?121 2 1 21 2 1 21 2 1 21( , ) 5 8( , ) 5 9( , , , ) 5 10nn n iiW u u u uW u u u unW u u u u u u u??????? ?乘 法 法 則 的 二 維 效 用 并 合 公 式乘 法 法 則 效 用 并 合 更 一 般 的 公 式維 效 用 并 合 乘 法 法 則 的 計 算 公 式第二節(jié) 多維效用并合方法 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? ?? ?121122( , , , ) 5 11l n ( , , , ) l n 5 12inniinn i iiW u u u uW u u u u????????更 一 般 的 公 式也 可 以 表 示 為 對 數(shù) 形 式 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? （五）混合規(guī)則 ? 混合規(guī)則適用于各目標(biāo)效用之間較為復(fù)雜的關(guān)系，是代換、加法和乘法三規(guī)則更為一般的情況。 ? 混合規(guī)則的二維效用并合公式 其中， ≥－ 1稱為形式因子。當(dāng) ≠0時，經(jīng)過簡單恒等變形，公式（ 5—13）可以化為較為規(guī)范的形式 ? ?1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) 5 13W u u c u c u c u c u?? ? ?? 第二節(jié) 多維效用并合方法 第二節(jié) 多維效用并合方法 ? 三、多維效用并合方法應(yīng)用實例 ? 多維效用并合方法是多目標(biāo)決策的一種實用方法，在經(jīng)濟(jì)管理、項目評價、能源規(guī)劃、人口控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。這里介紹