基本概念與抽樣分布(已修改)
2025-02-03 13:48 本頁(yè)面
【正文】 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 第 1章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布 應(yīng)用統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布 例 :某鋼筋廠每天可以生產(chǎn)某型號(hào)鋼筋 10000根，鋼筋廠每天需要對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制，對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。如果把鋼筋的強(qiáng)度作為鋼筋質(zhì)量的重有指標(biāo)，于是質(zhì)量管理人員需要做如下方面的工作 第一，對(duì)生產(chǎn)出來(lái)的鋼筋的強(qiáng)度進(jìn)行檢測(cè)，獲得必要的數(shù)據(jù)。 第二，對(duì)通過(guò)抽樣獲取的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析并推斷出這 10000根鋼筋的質(zhì)量是否合乎要求。 167。 總體、個(gè)體、樣本 總體與個(gè)體 我們把所研究對(duì)象的全體稱為總體或母體。組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體 總體 X可看作一個(gè)隨機(jī)變量 ,稱 X的概率分布為總體分布，稱 X的數(shù)字特征為總體的數(shù)字特征 ,對(duì)總體進(jìn)行研究就是對(duì)總體的分布或?qū)傮w的數(shù)字特征進(jìn)行研究 . 樣本 從總體中抽取的一部分個(gè)體稱為樣本或者子樣，其中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量 . 樣本具有二重性：隨機(jī)性和確定性 定義 設(shè)總體 X的樣本滿足 ⑴ 獨(dú)立性：每次觀測(cè)結(jié)果既不影響其它結(jié)果，也不受其它結(jié)果的影響；即相互獨(dú)立； ⑵ 代表性：樣本中每一個(gè)個(gè)體都與總體 X有相同分布。 則稱此樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 進(jìn)行有放回抽樣就是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ,無(wú)放回抽樣就不是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。但 N很大， n相對(duì)較小時(shí)無(wú)放回抽樣得到的樣本可以近似看作簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 . 稱樣本的分布為樣本分布。如果 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 為總體 X的分布函數(shù)，則樣本分布有比較簡(jiǎn)單的形式 。 ),...,( 1 nXX)(xF 它完全由總體 X的分布函數(shù)確定 ),(), 221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ??（ 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnP X x P X x P X x? ? ? ?1()nii Fx???)(),( 121 inin xfxxxf ???? ininn pxXxXxXP 12211 ),( ?????? ?兩種形式 例 設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為 p，如果記“ ”表示抽取一件產(chǎn)品是次品；“ ” 表示抽取一件產(chǎn)品是正品；那么，產(chǎn)品的質(zhì)量可以用 X的分布來(lái)衡量。 X服從 01分布，參數(shù)就是次品率 p。如果為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣 本，求樣本分布 . 解：總體 X的概率分布為 ,)1()( 1 xx ppxXP ????0?X 1?12( , , , )nX X X所 以 的 概 率 分 布 為 iixxninn ppxXxXxXP?? ??????112211 )1(),( ????? ???niinii xnxpp 11 )1( 例 設(shè)總體 X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，求樣本 的分布密度。 解：總體 X的分布密度為 所以 的概率分布為 2,??12( , , , )nX X X22)(21, 21)( ? ??? ?????xexf?????? x12( , , , )nX X X212 211( , , , ) ( ) e xp( ( ) )22nnif x x x x ????? ? ??? 統(tǒng)計(jì)量 ? 統(tǒng)計(jì)量的定義 定義 設(shè) 為總體 X的一個(gè)樣本， 為 的連續(xù)函數(shù)，且不含有任何未知參數(shù)，則稱 T為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 注 :，即樣本有一個(gè)觀測(cè)值時(shí) ,統(tǒng)計(jì)量就有一個(gè)唯一確定的值 。 ，它將高維隨機(jī)變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維隨機(jī)變量來(lái)處理 ,但不會(huì)損失所討論問(wèn)題的信息量 . 12( , , , )nX X X12( , , , )nT T X X X? nXX ?, 21? 常見的統(tǒng)計(jì)量
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