【正文】 第十八章第十八章 ARCH和和 GARCH估計估計 EViews中的大多數統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的 —— 建立變量的條件方差或變量波動性模型。 我們想要建模并預測其變動性通常有如下幾個原因 : 首先，我們可能要分析持有某項資產的風險；其次，預測置信區(qū)間可能是時變性的，所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當控制的，我們就能得到更有效的估計。 1 自回歸條件異方差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預測的。因變量的方差被作為因變量的滯后值和自變量或外生變量的函數來建立模型。 ARCH模型是 1982年由恩格爾 (Engle, R .)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev, T., 1986)發(fā)展成為 GARCH (Generalized ARCH)—— 廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應用于經濟學的各個領域。尤其在金融時間序列分析中。 按照通常的想法，自相關的問題是時間序列數據所特有，而異方差性是橫截面數據的特點。但在時間序列數據中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？ 2 恩格爾和克拉格（ Kraft, D., 1983）在分析宏觀數據時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設的要差。恩格爾的結論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。 從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預測誤差的方差中有某種相關性。 為了刻畫這種相關性，恩格爾提出自回歸條件異方差（ ARCH）模型。 ARCH的主要思想是時刻 t 的 的方差（ = ）依賴于時刻 (t173。1)的平方誤差的大小，即依賴于 。 3 為了說得更具體，讓我們回到 k 173。變量回歸模型： (1) 并假設在時刻 ( t173。1 ) 所有信息已知的條件下，擾動項 的分布是： ~ (2)也就是， 遵循以 0為均值， 為方差的正態(tài)分布。 由于（ 2）中 的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為 ARCH(1)過程：然而，容易加以推廣。4 例如，一個 ARCH (p)過程可以寫為： （ 3） 如果擾動項方差中沒有自相關，就會有 H 0 ： 。這時 ，從而得到誤差方差的同方差性情形。 恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設： （ 4）其中， 表示從原始回歸模型（ 1）估計得到的 OLS殘差。 5 一、一、 GARCH(1, 1)模型模型 我們常常有理由認為 ut 的方差依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領域，采用日數據或周數據的應用更是如此）。這里的問題在于，我們必須估計很多參數，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程 (3)不過是 ?t2 的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個 ?t2的滯后值代替許多 ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型（ generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，簡記為 GARCH模型）。在廣義的 ARCH模型中，要考慮兩個不同的設定：一個是條件均值，另一個是條件方差。 在標準化的 GARCH(1,1)模型中： () ()()中給出的 均值 方程是一個帶有誤差項的外生變量函數。由于 是以前面信息為基礎的一期向前預測方差 ，所以它被叫做條件方差。 6 ()中給出的條件方差方程是下面三項的函數： 1．均值： 2．用方程 ()的殘差平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息： （ ARCH項）。 3．上一期的預測方差： （ GARCH項）。 GARCH (1, 1) 中的 (1, 1)是指階數為 1的 GARCH項（括號中的第一項）和階數為 1的 ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的 ARCH模型是GARCH模型的一個特例，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差的說明。 7 在 EViews中 ARCH模型是在誤差是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數方法估計的。例如，對于 GARCH (1, 1)， t 時期的對數似然函數為： () 其中 () 這個說明通常可以在金融領域得到解釋，因為代理商或貿易商可以通過建立長期均值的加權平均（常數），上期的預期方差（ GARCH項）和在以前各期中觀測到的關于變動性的信息（ ARCH項）來預測本期的方差。如果 上升或下降的資產收益出乎意料地大 ，那么貿易商將會增加對下期方差的預期。這個模型還包括了經?？梢栽谪攧帐找鏀祿锌吹降淖儎咏M，在這些數據中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。8 有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型： 1．如果我們用滯后方差遞歸地替代（ ）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后殘差平方的加權平均： （ ） 我們看到 GARCH(1, 1)方差說明與樣本方差類似，但是，它向更遠的滯后加權了平方誤差。9 2．收益平方中的誤差通過 給出。用其替代方差方程 （） 中的方差并整理，得到關于誤差的模型： （ ） 因此，平方誤差服從一個異方差 ARMA（ 1, 1）過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是 加 的和。在很多情況下，這個根非常接近 1，所以沖擊會逐漸減弱。 10 二、方差方程的回歸因子二、方差方程的回歸因子 方程（ ）可以擴展成包含外生的或前定回歸因子 的方差方程：