北師大版高中數(shù)學(xué)(必修4單元測(cè)試-第一章三角函數(shù)一(已修改)
2025-11-26 03:18 本頁面
【正文】 第四章 三角函數(shù) 一、任意角的三角函數(shù) ? 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 弧長(zhǎng)與扇形的面積公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算與化簡(jiǎn)證明恒等式任意角的三角函數(shù) 角度制與弧度制任意角的概念誘導(dǎo)公式 ? 范例精講 【例 1】已知 α 是第二象限角，試求： （ 1） 2? 角所在的象限； （ 2） 3? 角所在的象限； （ 3） 2α 角所在范圍 . 解：（ 1）∵ α 是第二象限角，∴ 2π +2kπ α π +2kπ ,k∈ Z,即 4π +kπ 2? 2π +kπ ,k∈Z. 故當(dāng) k=2m(m∈ Z)時(shí)， 4π +2mπ 2? 2π +2mπ , 因此， 2? 角是第一象限角；當(dāng) k=2m+1(m∈ Z)時(shí)， 45 π +2mπ 2? 23 π +2mπ ,因此， 2?角是第三象限角 . 綜上 ,可知 2? 角是第一或第三象限角 . （ 2）同理可求得 6π + 32 kπ 3? 3π + 32 kπ ,k∈ Z,當(dāng) k=3m(m∈ Z)時(shí)， 6π +2mπ 3? 3π +2mπ ,此時(shí)， 3? 角是第一象限角；當(dāng) k=3m+1(m∈ Z)時(shí)， 6π +2mπ +32 π 3? 3π +2mπ +32 π ,即 65 π +2mπ 3? π +2mπ，此時(shí)， 3? 角是第二象限角；當(dāng) k=3m+2(m∈ Z)時(shí)， 23π +2mπ 3? 35 π +2mπ，此時(shí)， 3? 角是第四象限角 . 綜上，可知 3? 角是第一、第二或第四象限角 . （ 3）同理可求得 2α 角所在范圍為π +4kπ 2α 2π +4kπ， k∈ Z. 評(píng)注： （ 1）注意某一區(qū)間內(nèi)的角與象限角的區(qū)別 .象限角是由無數(shù)個(gè)區(qū)間角組成的，例如 0176。 α 90176。這個(gè)區(qū)間角，只是 k=0 時(shí)第一象限角的一種特殊情況 . （ 2）要會(huì)正確運(yùn)用不等式進(jìn)行角的表達(dá)，同時(shí)會(huì)對(duì) k 取不同值，討論形如 θ =α +32kπ (k∈ Z)所表示的角所在象限 . （ 3）對(duì)于本題第（ 3）問，不能說 2α 只是第三、 四象限的角，因?yàn)?2α 也可為終邊在y 軸負(fù)半軸上的角23π +4kπ (k∈ Z)，而此角不屬于任何象限 . 【例 2】求證： tan2α +cot2α +1=(tan2α +tanα +1)(cot2α － cotα +1). 證法一 :右邊 =(tan2α +tanα +1)? ?? 2 2tan tantan1 ?? =? ?? 2 222 ta n ta n)1(ta n ??=? ?? 2 22 tan 1tantan ??=tan2α +cot2α +1=左邊 . 證法二：左邊 =tan2α +cot2α +2tanα cotα － 1 =(tanα +cotα ) 2－ 1 =(tanα +cotα +1)(tanα +cotα － 1) =(tanα +cotα +1)(tanα +cotα － 1)tanα cotα =［ tanα (tanα +cotα +1)］178。［ cotα (tanα +cotα － 1)］ =(tan2α +tanα +1)(cot2α － cotα +1) =右邊 . 評(píng)注：證明三角恒等式的過程，實(shí)際上是“化異為同”的過程 .這一過程往往從化簡(jiǎn)開始 .將不同角化為同角以減少角的數(shù)目，將不同名函數(shù)化為同名函數(shù)以減少函數(shù)種類，在三角化簡(jiǎn)證明中有廣泛應(yīng)用 .本 題也可利用三角函數(shù)的定義證明 . 【例 3】化簡(jiǎn) : ?? ??2222 cossin cottan ?? + ?2cos1－ ?2sin1. 解法一 :（定義法） 設(shè)點(diǎn) P（ x， y）是角 α 終邊上一點(diǎn)，且 |OP|=r，則將 sinα =ry ， cosα =rx ， tanα =xy ， cotα =yx代入得 原式 =2222)()()()(rxryyxxy?? +22 )()( yrxr ? = )( )( 2222 244 xyyx rxy ?? + 22 222 )( yx xyr ? = 222xr = ?2cos2
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