一元函數(shù)積分學(已修改)
2024-10-12 22:52 本頁面
【正文】 引 言 第三章 一元函數(shù)積分學 積分學分 為不定積分與定積分兩部分 ． 不定積分是作為函數(shù)導數(shù)的反問題提出的 ， 而定積分是作為微分的無限求和引進的 ， 兩者概念不相同 ， 但在計算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系 ． 本章主要研究不定積分和定積分的概念 、 性質(zhì)及基本積分方法 ， 并揭示二者的聯(lián)系 ， 從而著重論證微積分學核心定理 （ 牛頓萊布尼茨式 ),解決定積分的計算問題，同時研究定積分在幾何 、 物理及醫(yī)學等方面的應(yīng)用 ，最后簡單研究廣義積分 ． 本章主要內(nèi)容： 第一節(jié) 不定積分 第二節(jié) 不定積分的計算 第三節(jié) 定積分 第四節(jié) 定積分的計算 第五節(jié) 廣義積分 不定積分的概念 不定積分的基本公式和 運算法則 第一節(jié) 不定積分 在小學和中學我們學過逆運算： 如：加法的逆運算為減法 乘法的逆運算為除法 指數(shù)的逆運算為對數(shù) 不定積分的概念 問題提出 微分法 : 積分法 : )()?( xf??互逆運算 反問題設(shè)已知 ),( xf)( xF設(shè)已知定義 1 若在某一區(qū)間上， F′(x) ＝ f(x) ， 則在這個區(qū)間上，函數(shù) F（ x）叫做函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)（ primitive function） 一個函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的 ， 而是有無窮多個 ． 比如 ， (sinx)′ ＝ cosx 所以 sinx 是 cosx 的一個原函數(shù) ， 而 sinx ＋ C （ C 可以取任意多的常數(shù) ） 是 cosx 的無窮多個原函數(shù) ． 一般的，若 F′( x)＝ f(x),F(x)是 f(x) 的一個原函數(shù) ， 則等式 [F(x)+ C]′ ＝ F′( x)＝ f(x) 成立 （ 其中 C 為任意常數(shù)） ， 從而一簇 曲線方程 F(x) ＋ C 是 f(x)無窮多個原函數(shù) ． 問題提出 如果 一個函數(shù) f(x)在一個區(qū)間有一個 原函數(shù) F(x) ，那么 f(x)就有無窮多個 原函數(shù)存在，無窮多個原函數(shù)是否都有 一致的表達式 F(x)＋ C 呢？ 定理 1: 若 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，則 f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成 F(x)＋ C （ C為任意常數(shù)） ． 思考：如何證明？ YES x 稱為積分變量 f(x)稱為被積函數(shù) ， f(x)dx 稱為被積表達式 其中 ∫ 稱為積分號 ， C 稱為積分常數(shù) 定義 2：若 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，則 f(x)的所有原函數(shù) F(x)＋ C 稱為 f(x)的 不定積分（ indefinite integral） ,記為 ∫ f（ x） dx ＝ F（ x） ＋ C 例 1 求函數(shù) f(x) ＝ ３ x２ 的不定積分 例 2 求函數(shù) f(x) ＝ １ /x 的不定積分 由于函數(shù) f(x)的不定積分 F(x)＋ C 中含有 任意常數(shù) C ， 因此對于每一個給定的 C ， 都有 一個確定的原函數(shù) ， 在幾何上 ， 相應(yīng)地就有一 條確定的曲線 ， 稱為 f(x)的積分曲線 ． 因為 C 可以取任意值 ， 因此不定積分表示 f(x)的一簇積分曲線 ， 即 F(x) ＋ C ． 二 、 不定積分的幾何意義 因為 F′( x)＝ f(x) ，這 說明 ， 在積分曲線 簇的每一條曲線中 ， 對應(yīng)于同一個橫坐標 x＝ x０ 點處有相同的斜率 f(x０ )， 所以對應(yīng)于這些點處 ， 它們的切線互相平行 ， 任意兩條曲線的縱坐標之 間相差一個常數(shù) ． 因此 ， 積分曲線簇 y＝ F(x)＋ C 中每一條曲線都可以由曲線 y＝ F(x)沿 y 軸方向 上 、 下移動而得到 二 、 不定積分的幾何意義 二 、 不定積分
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1