數(shù)學分析18_4條件極值(已修改)
2025-10-07 18:05 本頁面
【正文】 第 18章 第 4節(jié) 條件極值 極值問題 無條件極值 : 條 件 極 值 : 對自變量只有定義域限制 對自變量除定義域限制外 , 還有其它條件限制 數(shù)學分析 2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束引例 . 要設計一個容量為 0V則問題為求 x , y , 設 x , y , z 分別表示長、寬、高 , 下水箱表面積 最小 . z 使在 條件 水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。? 的長方體開口水箱 , 試問 0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2x yzyxzyzxS ??? )(20Vzyx ?條件極值 : 數(shù)學分析 3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束方法 1 代入法 . 求一元函數(shù) 的無條件極值問題 例如 , 轉化 ,0),( 下在條件 ?yx? 的極值求函數(shù) ),( yxfz ?)(0),( xyyx ?? ?? 中解出從條件))(,( xxfz ??條件極值的求法 : 數(shù)學分析 4 目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束,0),( 下在條件 ?yx?方法 2 拉格朗日乘數(shù)法 . 如方法 1 所述 , 則問題等價于一元函數(shù) 可確定隱函數(shù) 的極值問題 , 極值點必滿足 設 記 .),( 的極值求函數(shù) yxfz ?0),( ?yx? ,)( xy ??))(,( xxfz ??例如 , 故 0dddd ??? xyffxz yx,ddyxxy????因 0??yxyx ff??yyxx ff?? ?故有 ???數(shù)學分析 5 目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束引入輔助函數(shù) 輔助函數(shù) L 稱為拉格朗日 ( Lagrange )函數(shù) . 利用拉格 極值點必滿足 0?? xxf ??0?? yyf ??0),( ?yx?則極值點滿足 : 朗日函數(shù)求極值的方法稱為 拉格朗日乘數(shù)法 . ),(),( yxyxfL ????數(shù)學分析 6 目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束目錄 上頁 下頁 返回 結束推廣 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形 . 設 解方程組 可得到條件極值的 可疑點 . 例如 , 求函數(shù) 下的極值 . 在條件 ),( zyxfu ? ,0),( ?zyx?0),( ?zyx?),(),(),( 21 zyxzyxzyxfL ???? ???數(shù)學分析 7 目錄 上頁 下頁
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