【正文】 機(jī) 械 工 程 基 礎(chǔ) 第一講 ：平面彎曲內(nèi)力 —— 剪力與彎矩 第二講 ：剪力圖與彎矩圖 第三講 ：彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系 第四講 ：純彎曲梁的正應(yīng)力 第五講 ：常用截面二次矩 平行移軸公式 第六講 ：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算 第七講 ：彎曲切應(yīng)力簡介 第八講 ：梁的彎曲變形概述 第九講 ：用疊加法求梁的變形 第十講 ：提高梁強(qiáng)度和剛度的措施 第七章 彎 曲 第一講 ：平面彎曲內(nèi)力 —— 剪力與彎矩 目的要求： 掌握彎曲內(nèi)力及其計(jì)算。 教學(xué)重點(diǎn)： 掌握指定截面彎矩、剪力的計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)： 利用外力直接計(jì)算指定截面的彎矩、剪力。 第一講 ：平面彎曲內(nèi)力 —— 剪力與彎矩 一、彎曲的概念和工程實(shí)例 工程實(shí)例 工程實(shí)際中，存在大量的受彎曲的桿件，如火車輪軸、單梁吊車等等。彎曲變形是工程實(shí)際中最常見的一種基本變形 在桿的軸線平面內(nèi)受到外力作用，使桿的軸線由原來直線變?yōu)榍€，這種變形稱為 彎曲變形 。凡以彎曲變形為主的桿件，通常稱為 梁 。 受力特點(diǎn) ： 通過桿軸線的面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的 外力作用 變形特點(diǎn) ： 使原有直線的軸變成了曲線 平面彎曲的概念 工程中使用的直梁 ， 其橫截面大多至少有一根對稱軸 （ y軸 ） ， 如圖 。 通過平面對稱軸與梁軸線確定的平面 ， 稱為 梁的縱向?qū)ΨQ面 。 軸線 FA FB F q M 縱向?qū)ΨQ面 y y y y 如果作用于梁上的所有外力（包括約束力）都作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后的軸線將是在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線。這種彎曲變形稱為 平面彎曲 。本章只討論梁的平面彎曲。 二 、 梁的力學(xué)模型與基本形式 梁的簡化 不論梁的截面形狀如何，通常取梁的軸線來代替實(shí)際的梁 。 載荷的簡化 作用在梁上的外力，包括載荷和約束力（支座反力），一律可簡化為三種形式，即集中力 F、集中力偶 M和分布載荷 q(x)。分布載荷若分布均勻，則稱為 均布載荷 ，通常用載荷集度 q表示。其單位為 N/m。 軸線 FA FB F q M 縱向?qū)ΨQ面 q A B q F A B 支座的簡化 按支座對梁的約束作用不同，可按照靜力學(xué)分析，用活動鉸支座、固定鉸支座及固定端支座進(jìn)行簡化。 A B 靜定梁的基本形式 q A B 1） 簡支梁 一端為固定鉸支座 ， 另一端為可動鉸支座的梁 根據(jù)支承情況 ， 可將梁簡化為三種形式： A B 2)懸臂梁 一端為固定端 ,另一端為自由端的梁 q FP A B 固定端 自由端 3) 外伸梁 一端或兩端向外伸出的簡支梁 雙杠橫桿 q A B D C q A F B C q A B q F A B 這些梁的計(jì)算簡圖確定后，其支座反力均可由靜平衡條件完全確定，故稱靜定梁。 如果梁的支反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目，支反力不能完全由靜力平衡方程確定，這種梁稱為靜不定或超靜定梁 。 C 圖示懸臂梁 ， 若已知梁長為l， 主動力為 F， 則該梁的約束反力可由靜力平衡方程求得 ， 即FB=F， MB=Fl。 欲求任意橫截面 mm上的內(nèi)力 ，可在 mm處假想將梁截開 。 留左半段為研究對象 ， 因左右兩半本屬固連 ， 故其內(nèi)力狀況與靜力學(xué)中固定端的約束作用同 ， 內(nèi)力向截面 mm的形心 O簡化 ， 為一力 FQ與一力偶 M。 F l x A B y 1． 用截面法分析梁截面上的內(nèi)力 FB 三、梁的內(nèi)力（剪力與彎矩）計(jì)算 m m FQ M MB x F O A x m m lx B FB MB m m O FQ M 式中 FQ稱為剪力，它是與橫截面平行內(nèi)力的合力。 M稱為橫截面上的彎矩，它是橫截面上垂直內(nèi)力對其形心的合力矩。 式（ a）稱為剪力方程， 式（ b ）即稱為彎矩方程。 列出平衡方程，可得 ∑Fy＝ 0 FFQ＝ 0 FQ ＝ F （ a） ∑MO(F)＝ 0 M Fx ＝ 0 M ＝ Fx ( b ) F l x A B y FB m m FQ M MB x F O A x m m lx B FB MB m m O FQ M M M 為使取左段或取右段得到的同一截面上的內(nèi)力符號一致，特規(guī)定如下： 規(guī)定：當(dāng)截面上的剪力 FQ使研究對象有順時針轉(zhuǎn)向趨勢時為正 ，反之為負(fù) 。 FQ FQ FQ FQ M M + － － 當(dāng)截面上的彎矩 M使研究對象產(chǎn)生向下凸的變形時 （ 即上部受壓下部受拉 ） 為正 ， 反之為負(fù) 。 + 歸納為口訣： “ 左上右下 ， 剪力為正；左順右逆 ， 彎矩為正 ” 計(jì)算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或右）段上所有外力的代數(shù)和；彎矩大小等于截面之左（或右）段上的所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。在實(shí)際計(jì)算中，剪力和彎矩的符號一般皆設(shè)為正，如果計(jì)算結(jié)果為正，表明實(shí)際的剪力和彎矩與圖示方向一致；若結(jié)果為負(fù)，則與圖示方向相反。 研究對象在截面的右邊 FQ＝ ∑F左 M=∑MC(F左 ) FQ＝ ∑F右 M=∑MC(F右 ) 研究對象在截面的左邊 A D 2a 2a 2a q B C a M 1 1 ? ? ? ? 例： 外伸梁 DB受力如圖。已知均布載荷集度為 q，集中力偶 M=3qa2。圖中 22與 33截面稱為 A點(diǎn)處的臨近截面，即?→0；同樣 44與 55截面為 C點(diǎn)處的臨近截面。試求梁各指定截面的剪力與彎矩 。 FB FA 2 3 2 3 4 5 4 5 解 1）求梁支座的約束力。取整個梁為研究對象，畫受力圖。 列平衡方程求解得 ∑MB(F)=0 FA?4aM+q?2a?5a=0 得 FA=7qa/4 ∑Fy＝ 0 FB +FAq?2a=