【正文】 第 2 章 線(xiàn)性規(guī)劃的圖解法 解： x2 6 A 1 O 0 1 B C3 6 x1 OABC。 。 ，最優(yōu)解為 B 點(diǎn)，最優(yōu)解： x1 = 12 15 x2 = ， 最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值： 7 7 69 。 7 解： a x2 1 O x1 有唯一解 x1 = x 2 = 函數(shù)值為 b c d e 無(wú)可行解 無(wú)界解 無(wú)可行解 無(wú)窮多解 20 92 3 f 有唯一解 函數(shù)值為 8 3 x2 = 3 x1 = 解： a 標(biāo)準(zhǔn)形式： max f = 3x1 + 2 x 2 + 0s1 + 0 s 2 + 0s 3 9 x1 + 2 x 2 + s1 = 30 3x1 + 2 x 2 + s 2 = 13 2 x1 + 2 x 2 + s3 = 9 x1 , x 2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0 b 標(biāo)準(zhǔn)形式： max f = ?4 x1 ? 6 x3 ? 0s1 ? 0s2 3x1 ? x 2 ? s1 = 6 x1 + 2 x 2 + s 2 = 10 7 x1 ? 6 x 2 = 4 x1 , x 2 , s1 , s 2 ≥ 0 c 標(biāo)準(zhǔn)形式： 39。 39。39。 max f = ? x139。 + 2 x2 ? 2 x2 ? 0s1 ? 0s2 39。 39。 ? 3x1 + 5 x 2 ? 5 x 239。 + s1 = 70 39。 39。 2 x139。 ? 5 x 2 + 5 x 239。 = 50 39。 39。 3x139。 + 2 x 2 ? 2 x 239。 ? s 2 = 30 39。 39。 x139。 , x 2 , x 239。 , s1 , s 2 ≥ 0 4 、解： 標(biāo)準(zhǔn)形式： max z = 10 x1 + 5 x 2 + 0 s1 + 0 s 2 3x1 + 4 x 2 + s1 = 9 5 x1 + 2 x 2 + s 2 = 8 x1 , x 2 , s1 , s 2 ≥ 0 s1 = 2, s2 = 0 5 、解： 標(biāo)準(zhǔn)形式： min f = 11x1 + 8 x 2 + 0s1 + 0s 2 + 0s3 10 x1 + 2 x 2 ? s1 = 20 3x1 + 3x 2 ? s 2 = 18 4 x1 + 9 x 2 ? s3 = 36 x1 , x 2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0 s1 = 0, s2 = 0, s3 = 13 6 、解： b 1 ≤ c1 ≤ 3 c 2 ≤ c2 ≤ 6 d x1 = 6 x2 = 4 x 2 = 16 ? 2 x1 e x1 ∈ [4,8] f 變化。原斜率從 ? 2 變?yōu)? ? 1 3 解： 模型： max z = 500 x1 + 400 x 2 2 x1 ≤ 300 3x2 ≤ 540 2 x1 + 2 x2 ≤ 440 x1 + x2 ≤ 300 x1 , x2 ≥ 0 a x1 = 150 x 2 = 70 即目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是 103000 b 2， 4 有剩余，分別是 330， 15。均為松弛變量 c 50， 0 ， 200， 0 額外利潤(rùn) 250 d 在 [0,500] 變化，最優(yōu)解不變。 e 在 400 到正無(wú)窮變化，最優(yōu)解不變。 f 不變 8 、解： a 模型： min f = 8 x a + 3 xb 50 x a + 100 xb ≤ 1202000 5 x a + 4 xb ≥ 60000 100 xb ≥ 300000 x a , xb ≥ 0 基金 a,b 分別為 4000， 10000。 回報(bào)率： 60000 b 模型變?yōu)椋? max z = 5 x a + 4 xb 50 x a + 100 xb ≤ 1202000 100 xb ≥ 300000 x a , xb ≥ 0 推導(dǎo)出： x1 = 18000 x 2 = 3000 故基金 a 投資 90 萬(wàn)，基金 b 投資 30 萬(wàn)。 第 3 章 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 的計(jì)算機(jī)求解 解： a x1 = 150 x 2 = 70 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 103000 b 1， 3 使用完 2， 4 沒(méi)用完 0， 330， 0， 15 c 50， 0， 200， 0 含義： 1 車(chē)間每增加 1 工時(shí)，總利潤(rùn)增加 50 元 3 車(chē)間每增加 1 工時(shí)，總利潤(rùn)增加 200 元 4 車(chē)間每增加 1 工時(shí)，總利潤(rùn)不增加。 d 3 車(chē)間，因?yàn)樵黾拥睦麧?rùn)最大 e 在 400 到正無(wú)窮的范圍內(nèi)變化，最優(yōu)產(chǎn)品的組合不變 f 不變 因?yàn)樵? [0,500] 的范圍內(nèi) g 所謂的上限和下限值指當(dāng)約束條件的右邊值在給 定范圍內(nèi)變化時(shí)，約束條 件 1 的右邊值在 [200,440]變化，對(duì)偶價(jià)格仍為 50（同理解釋其他約束條件） h 10050=5000 對(duì)偶價(jià)格不變 i能 j 不發(fā)生變化 允許增加的百分比與允許減少的百分比之和沒(méi)有超出 100% k 發(fā)生變化 解： a 4000 10000 62020 b 約束條件 1：總投資額增加 1 個(gè)單位，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)則降低 約束條件 2：年回報(bào)額增加 1 個(gè)單位，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)升高 c 約束條件 1 的松弛變量是 0，約束條件 2 的剩余變量是 0 約束條件 3 為大于等于，故其剩余變量為 700000 d 當(dāng) c 2 不變時(shí)， c1 在 到正無(wú)窮的范圍內(nèi)變化，最優(yōu)解不變 當(dāng) c1 不變時(shí)， c 2 在負(fù)無(wú)窮到 的范圍內(nèi)變化，最優(yōu)解不變 e 約束條件 1 的右邊值在 [780000,1500000] 變化，對(duì)偶價(jià)格仍為 （其他 同理） f 不能 ，理由見(jiàn)百分之一百法則二 3 、解： a 18000 3000 102020 153000 b 總投資額的松弛變量為 0 基金 b 的投資額的剩余變量為 0 c 總投資額每增加 1 個(gè)單位，回 報(bào)額增加 基金 b 的投資額每增加 1 個(gè)單位，回報(bào)額下降 d c1 不變時(shí)， c 2 在負(fù)無(wú)窮到 10 的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變 c 2 不變時(shí)， c1 在 2 到正無(wú)窮的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變 e 約束條件 1 的右邊值在 300000 到正無(wú)窮的范圍內(nèi)變化，對(duì)偶價(jià)格仍為 約束條件 2 的右邊值在 0 到 1202000 的范圍內(nèi)變化，對(duì)偶價(jià)格仍為 600000 300000 f + = 100% 故對(duì)偶價(jià)格不變 900000 900000 解： a x1 = x 2 = 1 .5 x3 = 0 x4 = 1 最優(yōu)目標(biāo)函數(shù) 對(duì)偶價(jià)格為 2 和 b 約束條件 2 和 3 c 選擇約束條件 3，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 22 d 在負(fù)無(wú)窮到 的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變，但此時(shí)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值變化 e 在 0 到正無(wú)窮的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變，但此時(shí)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值變化 解： a 約束條件 2 的右邊值增加 1 個(gè)單位，目標(biāo)函數(shù)值將增加 b x 2 產(chǎn)品的利潤(rùn)提高到 ,才有可能 大于零或生產(chǎn) c 根據(jù)百分之一百法則判定，最優(yōu)解不變 15 65 d 因?yàn)? 我們不能判定 + 100 % 根據(jù)百分之一百法則二， 30 ? ? 15 其對(duì)偶價(jià)格是否有變化 第 4 章 線(xiàn)性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用 解：為了用最少的原材料得到 10 臺(tái)鍋爐，需要混合使用 14 種下料方案 方案 規(guī)格 2640 1770 1651 1440 合計(jì) 剩余 方案 規(guī)格 2640 1770 1651 1440 合計(jì) 剩余 1 2 0 0 0 5280 220 8 0 1 2 0 5072 428 2 1 1 0 0 4410 1090 9 0 1 1 1 4861 639 3 1 0 1 0 4291 1209 10 0 1 0 2 4650 850 4 1 0 0 1 4080 1420 11 0 0 3 0 4953 547 5 0 3 0 0 5310 190 12 0 0 2 1 4742 758 6 0 2 1 0 5191 309 13 0 0 1 2 4531 969 7 0 2 0 1 4980 520 14 0 0 0 3 4320 1180 設(shè)按 14 種方案下料的原材料的根數(shù)分別為 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7， x8， x9， x10， x11， x12， x13， x14，則可列出下面的數(shù)學(xué)模型： min f＝ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s． t． 2x1＋ x2＋ x3＋ x4 ≥ 80 x2＋ 3x5＋ 2x6＋ 2x7＋ x8＋ x9＋ x10 ≥ 350 x3＋ x6＋ 2x8＋ x9＋ 3x11＋ x12＋ x13 ≥ 420 x4＋ x7＋ x9＋ 2x10＋ x12＋ 2x13＋ 3x14 ≥ 10 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7， x8， x9， x10， x11， x12， x13， x14≥ 0 用管理運(yùn)籌學(xué)軟件我們可以求得此問(wèn)題的解為： x1＝ 40， x2＝ 0， x3＝ 0， x4＝ 0， x5＝ ， x6＝ 0， x7＝ 0， x8＝ 0， x9＝ 0， x10＝ 0， x11＝ 140， x12＝ 0， x13＝ 0， x14＝ 最優(yōu)值為 300。 解：從上午 11 時(shí)到下午 10 時(shí)分成 11 個(gè)班次，設(shè) xi 表示第 i 班次安排的臨時(shí) 工的人數(shù)，則可列出下面的數(shù)學(xué)模型： min f＝ 16（ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s． t． x1＋ 1 ≥ 9 x1＋ x2＋ 1 ≥ 9 x1＋ x2＋ x3＋ 2 ≥ 9 x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ 2 ≥ 3 x2＋ x3＋ x4＋ x5＋ 1 ≥ 3 x3＋ x4＋ x5＋ x6＋ 2 ≥ 3 x4＋ x5＋ x6＋ x7＋ 1 ≥ 6 x5＋ x6＋ x7＋ x8＋ 2 ≥ 12 x6＋ x7＋ x8＋ x9＋ 2 ≥ 12 x7＋ x8＋ x9＋ x10＋ 1 ≥ 7 x8＋ x9＋ x10＋ x11＋ 1 ≥ 7 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7， x8， x9， x10， x11≥ 0 用管理運(yùn)籌學(xué)軟件我們可以求得此問(wèn)題的解為： x1＝ 8， x2＝ 0， x3＝ 1， x4＝ 1， x5＝ 0， x6＝ 4， x7＝ 0， x8＝ 6， x9＝ 0， x10＝ 0， x11＝ 0 最優(yōu)值為 320。 a、 在滿(mǎn)足對(duì)職工需求的條件下，在 10 時(shí)安排 8 個(gè)臨時(shí)工， 12 時(shí)新安排 1 個(gè)臨時(shí)工， 13 時(shí)新安排 1 個(gè)臨時(shí)工， 15 時(shí)新安排 4 個(gè)臨時(shí)工， 17 時(shí)新 安排 6 個(gè)臨時(shí)工可使臨時(shí)工的總成本最小。 b、 這時(shí)付給臨時(shí)工的工資總額為 80 元，一共需要安排 20 個(gè) 臨時(shí)工的班 次。 約束 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 松弛 /剩余變量 0 0 2 9 0 5 0 0 0 0 0 對(duì)偶價(jià)格 4 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 根據(jù)剩余變量的數(shù)字分析可知，可以讓 11 時(shí)安排的 8 個(gè)人工作 3 小時(shí)， 13 時(shí)安排的 1 個(gè)人工作 3 小時(shí)，可使得總成本更小。 C、設(shè)在 11： 0012： 00 這段時(shí)間內(nèi)有 x1 個(gè)班是 4 小時(shí)， y1 個(gè)班是 3 小時(shí)； 設(shè) 在 12： 0013： 00 這段時(shí)間內(nèi)有 x 2 個(gè)班是 4 小時(shí)， y 2 個(gè)班是 3 小時(shí)；其他時(shí) 段也類(lèi)似。 則：由題意可得如下式子： min z = 16∑ x1 + 12∑ y1 i =1 i =1 11 11 S． T x1 + y1 + 1 ≥ 9 x1 + y1 + x2 + y2 + 1 ≥ 9 x1 + y1 + x2 + y2 + x3 + y3 + 1 + 1 ≥ 9 x1 + x2 + y2 + x3 + y3 + x4 + y4 + 1 + 1 ≥ 3 x2 + x3 + y3 + x4 + y4