線性代數(shù)概念word版(已修改)
2025-08-29 06:15 本頁面
【正文】 第一講 基本概念 1．線性方程組的基本概念 線性方程組的一般形式為： 其中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程式的個(gè)數(shù)不必相等。 線性方程組的解是一個(gè)維向量（稱為解向量），它滿足：當(dāng)每個(gè)方程中的未知數(shù)都用替代時(shí)都成為等式。 線性方程組的解的情況有三種：無解，唯一解，無窮多解。 對(duì)線性方程組討論的主要問題有兩個(gè)：（1）判斷解的情況。（2）求解，特別是在有無窮多解時(shí)求通解。 的線性方程組稱為齊次線性方程組。 維零向量總是齊次線性方程組的解，稱為零解。因此齊次線性方程組解的情況只有兩種：唯一解（即只要零解）和無窮多解（即有非零解）。 把一個(gè)非齊次線性方程組的每個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都換成，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組。 2．矩陣和向量 （1）基本概念 矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展。 由個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)行列的表格，兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào)，就成為一個(gè)型矩陣。例如 是一個(gè)矩陣，對(duì)于上面的線性方程組，稱矩陣 和為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣。增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息，而齊次方程組只用系數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息。 一個(gè)矩陣中的數(shù)稱為它的元素，位于第行第列的數(shù)稱為位元素。 元素全為的矩陣稱為零矩陣，通常就記作。 兩個(gè)矩陣和相等（記作）,是指它的行數(shù)相等，列數(shù)也相等（即它們的類型相同），并且對(duì)應(yīng)的元素都相等。 由個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，稱這些數(shù)為它的分量。 書寫中可用矩陣的形式來表示向量，例如分量依次是的向量可表示成 或， 請(qǐng)注意，作為向量它們并沒有區(qū)別，但是作為矩陣，它們不一樣（左邊是矩陣，右邊是矩陣）。習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量。（請(qǐng)注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別。） 一個(gè)的矩陣的每一行是一個(gè)維向量，稱為它的行向量；每一列是一個(gè)維向量，稱為它的列向量。常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣，例如當(dāng)矩陣的列向量組為時(shí)（它們都是表示為列的形式?。┛捎?。 矩陣的許多概念也可對(duì)向量來規(guī)定，如元素全為的向量稱為零向量，通常也記作。兩個(gè)向量和相等（記作），是指它的維數(shù)相等，并且對(duì)應(yīng)的分量都相等。 （2）線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置 線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的，下面以矩陣為例來說明。 加（減）法：兩個(gè)的矩陣和可以相加（減），得到的和（差）仍是矩陣，記作，法則為對(duì)應(yīng)元素相加（減）。 數(shù)乘：一個(gè)的矩陣與一個(gè)數(shù)可以相乘，乘積仍為的矩陣，記作，法則為的每個(gè)元素乘。 這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算，它們滿足以下規(guī)律： ① 加法交換律：。 ② 加法結(jié)合律：。 ③ 加乘分配律：。 ④ 數(shù)乘結(jié)合律：。 ⑤ 或。轉(zhuǎn)置：把一個(gè)的矩陣行和列互換，得到的的矩陣稱為的轉(zhuǎn)置，記作（或）。 有以下規(guī)律： ① 。 ② 。 ③ 。 轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算，如把轉(zhuǎn)置的符號(hào)用在向量上，就意味著把這個(gè)向量看作矩陣了。當(dāng)是列向量時(shí)，表示行向量，當(dāng)是行向量時(shí)，表示列向量。 向量組的線性組合：設(shè)是一組維向量，是一組數(shù)，則稱 為的（以為系數(shù)的）線性組合。 維向量組的線性組合也是維向量。 （3）階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣 行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，行列數(shù)都為的矩陣也常常叫做階矩陣。 把階矩陣的從左上到右下的對(duì)角線稱為它對(duì)角線。（其上的元素行號(hào)與列號(hào)相等。） 下面列出幾類常用的階矩陣，它們都是考試大綱中要求掌握的。 對(duì)角矩陣：對(duì)角線外的元素都為的階矩陣。 單位矩陣：對(duì)角線上的元素都為的對(duì)角矩陣，記作（或）。 數(shù)量矩陣：對(duì)角線上的元素都等于一個(gè)常數(shù)的對(duì)角矩陣，它就是。
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