【正文】 第 2章 謂詞邏輯 大連海事大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 第二章 謂 詞 邏 輯 ? 命題邏輯中：原子命題為基本單位，是不能再分解的。 1). 命題邏輯的表達(dá)能力差： 例 : 張三是大學(xué)生。 P 李四是大學(xué)生。 Q 2). 命題邏輯的推理能力差： 例 : 凡人必死； P 蘇格拉底是人； Q 所以蘇格拉底必死。 R P， Q ? R? 不是命題邏輯中的有效推理。 ? 為刻劃命題內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，需研究謂詞邏輯。 ? 謂詞與個(gè)體 ? 量詞與全總個(gè)體域 ? 謂詞公式 ? 自由變?cè)c約束變?cè)? ? 等價(jià)式與蘊(yùn)涵式 ? 謂詞邏輯的推理理論 內(nèi)容提要 謂詞與個(gè)體 在謂詞邏輯中 ， 原子命題被分解成主語和謂語兩部分組成 。 把主語稱為個(gè)體 ， 把謂語稱為謂詞 。 ? 個(gè)體： 是指可以獨(dú)立存在的事物。它可以是具體的，也 可以是抽象的，如張明，計(jì)算機(jī)，精神等。 表示特定的個(gè)體，稱為 個(gè)體常元 ，以 a， b， c… 表示； 表示不確定的個(gè)體，稱為 個(gè)體變?cè)?，以 x， y， z表示。 ?個(gè)體域 : 個(gè)體變?cè)娜≈捣秶?個(gè)體域 (或論域 ),用 D表示 宇宙間一切事物組成的個(gè)體域稱為 全總個(gè)體域 ? 謂詞： 用于描述個(gè)體的性質(zhì)或個(gè)體間關(guān)系的部分 。 謂詞與一個(gè)個(gè)體相聯(lián)系時(shí)，它刻劃了個(gè)體性質(zhì)； 謂詞與多個(gè)個(gè)體相聯(lián)系時(shí)，它刻劃了個(gè)體之間的關(guān)系 。 例 : (1) 他是三好學(xué)生。 一元謂詞： … 是三好學(xué)生 (2) 5大于 3。 二元謂詞： … 大于 … (3) 哥白尼指出地球繞著太陽轉(zhuǎn)。 三元謂詞： … 指出 … 繞著 … 轉(zhuǎn) ? 用謂詞表達(dá)命題 規(guī)定：用大寫字母表示謂詞，小寫字母表示個(gè)體 (常元 ) 例 : A表示“ … 是個(gè)大學(xué)生”。 a 表示張三， b 表示李四。 則 A(a) 表示命題：張三是個(gè)大學(xué)生。 A(b) 表示命題： 李四是個(gè)大學(xué)生。 例 : 表示 命題“武漢位于北京和廣州之間” 設(shè) P： … 位于 … 和 … 之間， a：武漢， b：北京， c：廣州， 則 P(a， b， c)：武漢位于北京和廣州之間。 注：個(gè)體出現(xiàn)的次序影響命題的真值 . 例 : 謂詞 H： … 總是要死的 . a， b， c分別表示李四，老虎和椅子。 則 H(a)， H(b)和 H(c)分別表示不同的命題。 以個(gè)體變?cè)? x表示 a,b,c， 有 H(x) 。 H(x)稱為命題函數(shù) ?命題函數(shù) 定義 由一個(gè)謂詞和 n個(gè)個(gè)體變?cè)M成的表達(dá)式 H(x1， x2， … ， xn) 簡(jiǎn)稱為 n元命題函數(shù) 或 n元原子謂詞公式 或 n元謂詞 。 ?n=1時(shí)，一元命題函數(shù)； n=2，二元命題函數(shù) 等 ? 當(dāng) n=0，稱為零元命題函數(shù)。零元命題函數(shù)是命題 。 例 S(x)表示： x學(xué)習(xí)很好。 H(x， y)表示： x比 y長(zhǎng)得高。 ? 命題函數(shù)是命題的擴(kuò)充；命題是命題函數(shù)的特例。 例 符號(hào)化：這座大樓建成了 令 F(x)： x建成了， G(x): x是大的， H(x): x是樓 令 a：這個(gè)東西（個(gè)體） 則： G(a) ∧ H(a) ∧ F(a) ?命題函數(shù)不是命題，只有當(dāng)個(gè)體變?cè)√囟▊€(gè)體時(shí)才成為命題。 量詞與全總個(gè)體域 ? 個(gè)體域（論域）對(duì)命題函數(shù)真值的影響 例 : R(x)表示“ x是大學(xué)生”。 x的論域分別為 ： 某大學(xué)里班級(jí)中的學(xué)生； 某中學(xué)里班級(jí)中的學(xué)生； 一個(gè)劇場(chǎng)中的觀眾。 ? 引入量詞表示 “ 所有的，存在一些 ” ? 量詞 (1)全稱量詞： 對(duì)應(yīng) “對(duì)所有的”，“一切”，“任意的”等詞，用符號(hào)“ ?”表示。 (?x)P(x) P(x)稱為 (?x)的轄域或作用范圍 量詞與全總個(gè)體域 (2) 存在量詞： 對(duì)應(yīng)于 “存在一些”，“至少有一個(gè)”等詞， 用符號(hào)“ ?”表示。 (?x)Q(x) Q(x)稱為 (?x)的轄域或作用范圍 ? 全總個(gè)體域與特性謂詞 當(dāng)一個(gè)命題沒有指明論域時(shí)，一般都把全總論域作為其論域。而這時(shí)又常常要采用一個(gè)謂詞如 P(x)來限制個(gè)體變?cè)?x的取值范圍，并把 P(x)稱為特性謂詞。 例 在謂詞邏輯中符號(hào)化下列問題： (1) 所有的人都是要死的。 (2) 有的人活百歲以上。 解 若個(gè)體域?yàn)槿祟惣?，則可分別符號(hào)化為： (1) 令 P(x)： x是要死的， 則 (?x)P(x) (2) 令 Q(x)： x活百歲以上 , 則 (?x)Q(x) 但該題目未指明個(gè)體域，默認(rèn)個(gè)體域應(yīng)為全總個(gè)體域， 故不能直接按以上符號(hào)化。 在全總個(gè)體域的情況下，以上兩個(gè)命題可敘述為： (1) 對(duì)所有個(gè)體而言，如果它是人，則它是要死的。 (2) 存在著個(gè)體，它是人并且活百歲以上。 引進(jìn)一個(gè)新的謂詞 : M(x)： x是人。 則兩命題符號(hào)化為 : (?x)( M(x)→P(x) ) (?x)( M(x)∧ Q(x) ) 其中， M(x)稱為特性謂詞， 限制個(gè)體變?cè)≈捣秶?. ? 注意 : 引入特性謂詞后， 使用全稱量詞時(shí)：特性謂詞常做前件 使用存在量詞時(shí)：特性謂詞常做合取項(xiàng) 例、將下列命題符號(hào)化 （ 1）所有的大學(xué)生都要參加軍訓(xùn)； （ 2）有些大學(xué)生是三好優(yōu)秀生； （ 3）沒有不犯錯(cuò)誤的人； （ 4）發(fā)光的不都是金子； （ 5）每一個(gè)有理數(shù)都是實(shí)數(shù)； （ 6）某些實(shí)數(shù)是有理數(shù)； （ 1）所有的大學(xué)生都要參加軍訓(xùn)； 特性謂詞 S(x)： x是大學(xué)生； M(x): x要參加軍訓(xùn)； 符號(hào)化結(jié)果 ： (?x) ( → ) S(x) M(x) 個(gè)體域