3-廣義函數(shù)(已修改)
2025-08-17 18:50 本頁(yè)面
【正文】 廣義函數(shù) 鄧創(chuàng) 王達(dá) 馬昱 袁玨 問(wèn)題的引入 : 212題（ 2） 沖激函數(shù)匹配法中的運(yùn)算次序問(wèn)題（先求導(dǎo)還是先用沖激函數(shù)篩選特性？） 符號(hào)函數(shù) sgn(x)的傅里葉變換的方法（對(duì) a取極限的合理性？） 階躍函數(shù)的 u(t)傅里葉變換（為什么不能通過(guò)單邊指數(shù)變換取極限得到？） 解決方法： 對(duì)廣義函數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格的定義 舉例：教材對(duì)廣義函數(shù)的不嚴(yán)格運(yùn)算 Dirac定義導(dǎo)致函數(shù)形式的多樣性（與通常理解的函數(shù)相悖） ?被積函數(shù)相等 （教材證明沖激函數(shù)性質(zhì)時(shí)多次用到此方法） 毫無(wú)理由的技巧 (例如 u(t)和 sgn(t)) 函數(shù)空間與線性泛函 廣義函數(shù)的嚴(yán)格定義 弱收斂性質(zhì) 代數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分運(yùn)算 函數(shù)空間的完備性 極限與運(yùn)算可交換次序 最終目的 線性函數(shù)空間 定義了加法和數(shù)乘（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）運(yùn)算且具有線性封閉性質(zhì)的函數(shù)空間（可類比線性代數(shù)中的定義） 線性泛函 設(shè) L為上述定義而成的一個(gè)函數(shù)空間 ,V為一個(gè)數(shù)集，若映射 f 對(duì) L中任一函數(shù) g(x),在 V中總有一個(gè)數(shù) v與之對(duì)應(yīng)，即 f : g(x)?v （或記作 v=f [g(x)]=f , g） 則稱 f 為作用在 L上的一個(gè)泛函，其中 L為其定義域， v為其值域 線性泛函與連續(xù)泛函 任取 g1(x),g2(x) ∈ L 且對(duì)泛函 f有 f : g1(x)?v1 f :g2(x)?v2 若對(duì)任意常數(shù) a1,a2滿足 f: a1g1(x)+a2g2(2)?a1v1+a2v2 則稱 f為線性泛函 設(shè) f 為 L上的泛函， gm(x)(m=1,2,…..) 為 L中的函數(shù)序列； f :{gm(x)}?{vm} 如果 時(shí)恒有 則稱 f 為 L上的連續(xù)泛函 lim ( )
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1