“數(shù)字黑洞”及其簡易證明(作者：蕪湖林闖)(已修改)
2025-08-17 18:25 本頁面
【正文】 “數(shù)字黑洞”及其簡易證明 安徽省蕪湖市萬春中學(xué) 林闖 近年來，在各級各類數(shù)學(xué)競賽或數(shù)學(xué)考試中屢屢出現(xiàn)一類所謂的“數(shù)字黑洞”問題。這類問題既有趣、又神秘，還很怪異，“數(shù)字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，但一般也用到了較高深的數(shù)論知識，對一些常見于書報的“數(shù)字黑洞”得到了一些相對淺顯的、變通的證明，目的是想讓更多的讀者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通過這些簡易的證明，足以讓讀者承認這些“數(shù)字黑洞”的真實存在，并且能夠透視出真正操縱它們的“幕后黑手”.下面，筆者就來給讀者朋友們介紹幾個著名的“數(shù)字黑洞”及其簡易證明.問題1：（2003年青島市中考數(shù)學(xué)試題） 探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來．無獨有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新數(shù)，然后把這個新數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)字再立方、求和，…，重復(fù)運算下去，就能得到一個固定的數(shù)T＝ ，我們稱它為數(shù)字“黑洞”．T為何具有如此魔力？通過認真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！分析：如果我們先取18，首先我們得到，然后是，接下去又是153，于是就陷在“” （F代表上述的變換規(guī)則，下同）這個循環(huán)中了。 再舉個例子，最開始的數(shù)取756，我們得到下面的序列：這次復(fù)雜了一點，但是我們最終還是陷在“”這個循環(huán)中。隨便取一個其他的3的倍數(shù)的數(shù)，對它進行這一系列的變換，或遲或早，你總會掉到“”這個“死循環(huán)”中，或者說，“黑洞”T＝153. 現(xiàn)在要討論的問題是：是否對于所有的符合條件的自然數(shù)都是如此呢？西方把153稱作“圣經(jīng)數(shù)”。這個美妙的名稱出自圣經(jīng)《新約全書》：耶穌對他們說：“把剛才打的魚拿幾條來.” 西門 ，共一百五十三條；魚雖這樣多。英國學(xué)者奧皮亞奈，對此作出了證明.《美國數(shù)學(xué)月刊》對有關(guān)問題還進行了深入的探討.：1. 設(shè),當時，有＜又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（上高中時會學(xué)到），可得，＜，所以 ＜即＜，也就是對于5位以上的整數(shù)，每做一次變換它的數(shù)位都會減少若干位，所以經(jīng)過有限次變換后其數(shù)位必然收縮到五位以
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