極限的概念和運(yùn)算法則(已修改)
2025-08-17 08:06 本頁面
【正文】 第二節(jié) 極限的概念和運(yùn)算法則 一 數(shù)列極限 例如 按照一定順序排成的一列數(shù)，叫作 數(shù)列 .組成數(shù)列的 12 2。,x x n第記 作 第 二 個(gè) 數(shù) 叫 作 數(shù) 列 的 記 作 ； 第項(xiàng) 個(gè) 數(shù) 叫 作12, , . . . , , . . .nx x x{ } , .nnxx并 記 作 有 時(shí) 也 簡 記 作定義 每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的 項(xiàng) . 1第 一 個(gè) 數(shù) 叫 作 數(shù) 的 第列 項(xiàng) ，.nn x數(shù) 列 的 ， 也 叫 作 項(xiàng) ， 記 作第 項(xiàng) 通一般形式 11 4 ( 1 )2 , , , .. ., , .. .23nnn???1 2 3, , , . . . , , . . .2 3 4 1nn ?11 , 1 , 1 , 1 , . . . , ( 1 ) , . . .n ?? ? ?1x2x 3x nx12{ } , , , . . . , , . . .nnx x x x數(shù) 列 可 看 作 數(shù) 軸 上 的 一 個(gè) 動(dòng) 點(diǎn) 它 依 次 取 數(shù) 軸 上 的 點(diǎn)o x,n ??考 察 當(dāng) 時(shí) 數(shù) 列 11 4 ( 1 )2 ... , ...23 nn n ???， ， ， ， 的變化趨勢 . 11( 1 ) ( 1 )1 1.( )nnnnxnnn??? ? ?? ? ? ? ? ?, { } ,nn x a如 果 當(dāng) 無 限 增 大 時(shí) 數(shù) 列 無 限 接 近 一 個(gè) 確 定 的 常 數(shù){ } { } ,nna x x a則 稱 常 數(shù) 是 數(shù) 列 的 ， 或極 限 收 斂者 稱 數(shù) 列 于 記 作l im , ( ) .nnn x a x a n?? ? ? ? ?或定義 對(duì)極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的， 數(shù)列極限可以用更精確的數(shù)學(xué)語言來刻畫 2x 1x3x3Nx ?a ?? a ??a2Nx ?幾何解釋 : o x??1Nx ?||nnx a a x a? ? ?? ? ? ? ? ? ?例 1 證明數(shù)列 證 22( 1 ) 1 1( 1 ) | | 0 .( 1 ) ( 1 ) 1nnxa n n n?? ? ? ? ?? ? ?11( 2 ) 0 ( 1 ) , , , 1 .1nx a nn? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??設(shè) 要 使 只 要 即21 ( 1 )( 3 ) [ 1 ] , , 0 .( 1 )nnN n N x a n ???? ? ? ? ? ? ??取 則 當(dāng) 時(shí) 就 有2( 1 )( 4) l i m l i m 0.( 1 )nnnnx n? ? ? ??? ? ??{ } { }nnaa如 果 數(shù) 列 收 斂 , 則 數(shù) 列 的 極 限 唯 一 .收斂數(shù)列的性質(zhì) 定理 （惟一性） 證 反證法 . { } : l im , l im , ,n n nnna a a a b a b? ? ? ?? ? ?假 設(shè) 數(shù) 列 有 兩 個(gè) 不 同 的 極 限, 0 , l im ,2 nnba aa????? ? ?根 據(jù) 定 義 對(duì) 于 給 定 的 因 為 所 以 存 在11,。2nN n Nbaaa????正 整 數(shù) 當(dāng) 時(shí) 有 22l im , , ,nn a b N n N?? ??又 因 為 所 以 存 在 正 整 數(shù) 當(dāng) 時(shí) 有.2n baab ???12m a x { , } , :N N N n N??取 則 當(dāng) 時(shí)( ) ( )nnb a a a a b? ? ? ? ?.22b a b a ba??? ? ? ?nna a a b? ? ? ?{} na所 以 數(shù) 列 只 能 有 唯 一 的 極 限 .,2n baaa ???.2n baab ???矛盾 { } , 0 ,na M n??對(duì) 于 數(shù) 列 如 果 使 得 任 意 有,naM?{ } .na則 稱 數(shù) 列 是 界 的有 ,.M如 果 這 樣 的 正 數(shù) 不 存 在 就 說{}na數(shù) 列 是 無 界 的定義 例如 21nnan? ?2221nMnn? ? ?? 對(duì) 一 切 正 整
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