充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量(已修改)
2025-08-17 02:32 本頁面
【正文】 167。 充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量 一 充分統(tǒng)計(jì)量 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 ， 由樣本來推斷總體的前提是：樣本包含了總體分布的信息 。 樣本中包含的關(guān)于總體分布的信息可分為： 關(guān)于總體結(jié)構(gòu)的信息 ， 即反映總體分布的類型 。如總體服從正態(tài)分布 ， 則來自該總體的樣本相互獨(dú)立并均服從該正態(tài)分布 ， 即樣本包含了總體分布為正態(tài)分布的信息 。 關(guān)于總體未知參數(shù)的信息，這是由于樣本的分布中包含了總體分布中的未知參數(shù)。 為了推斷總體分布的未知參數(shù)，需要把樣本中關(guān)于未知參數(shù)的信息 “ 提煉 “ 出來，即構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量 —— 樣本的函數(shù) f(X1,X2,…, Xn) 例 為研究某個(gè)運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率，我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行測(cè)試，觀測(cè)其 10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余 8次都命中。這樣的觀測(cè)結(jié)果包含了 兩 種信息： (1)打靶 10次命中 8次； (2)2次不命中分別出現(xiàn)在第 3次和第 6次打靶上。 第二種信息對(duì)了解該運(yùn)動(dòng)員的命中率是沒有什么幫助的。 一般地，設(shè)我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行 n 次觀測(cè)，得到 x1, x2,…, xn，每個(gè) xj 取值非 0即 1，命中 1，不命中為 0。 令 T = x1+…+ xn ， T為觀測(cè)到的命中次數(shù)。在這種場(chǎng)合僅僅記錄使用 T 不會(huì)丟失任何與命中率 ? 有關(guān)的信息。 顯然，一個(gè) “ 好 ” 的統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該能夠?qū)颖局兴年P(guān)于未知參數(shù)的信息全部提煉出來，而不沒有任何有用信息損失，這就是英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Fisher于 1922年提出的一個(gè)重要的概念 充分統(tǒng)計(jì)量。 樣本 X1,X2,…, Xn 有一個(gè)樣本分布 F?(x)，這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān) ?的信息。統(tǒng)計(jì)量 T =T(X1,X2,…, Xn) 也有一個(gè)抽樣分布 F?T(t) 。 當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量 T 代替原始樣本并且不損失任何有關(guān) ? 的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布F?T(t) 像 F?(x) 一樣概括了有關(guān) ? 的一切信息。 這即是說在統(tǒng)計(jì)量 T 的取值為 t 的情況下樣本 x 的條件分布 F?(x|T=t) 已不含 ? 的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。 例 . 設(shè)總體 X 服從兩點(diǎn)分布 ( 1 , )Bp , 即 P ( X = x ) = 1( 1 )xxpp ?? , x =0 , 1 , 其中 0 p 1 , （nXXX , 21 ?） 為來自總體 X 一個(gè)樣本 ,研究 統(tǒng)計(jì)量11niiXXn ?? ? 。 因?yàn)?iX ( 1 , )Bp , 所以1( , )n iin X X B n p?? ? , 即有 ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , , .k k n knP n X k C p p k n?? ? ? ? 設(shè) ? ?nxxx , 21 ? , 為樣本觀測(cè)值，其中 0 , 1 .ix ? 如果已知nkX ? 則樣本 ? ?nXXX , 21 ? 的條件概率 1 1 2 21 1 2 2( , , , )( , , , , )()nnnnkP X x X x X x XnkP X x X x X x XnkPXn? ? ? ?? ? ? ??? 1 1 2 211( , , , ),()0,nnniiniiP X x X x X
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