充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量-預覽頁
【正文】 nikinniixkCxk??????? ?? ?????如 果 ，如 果 ，與 p 無關，所以 X 為 p 的充分統(tǒng)計量 . 定義 設nXXX , 21 ?為來自總體 X 的樣本， X 的分布函數(shù)為 ? ??。 二、 因子分解定理 根據(jù)充分統(tǒng)計量的含義，在對總體未知參數(shù)進行推斷時，應在可能的情況下盡量找出關于未知參數(shù)的充分統(tǒng)計量。 定理 1 . 3 （因子分解定理） （ 1 ）連續(xù)型情況：設總體 X 具有分布密度),(),。 2 ） 離散型情況 ：設總體 X 的分布律為? ?iP X x? i 1 2 np ( x 。 證明 樣本的聯(lián)合分布律為 ? ? ??????? ?? ?niiNIi xnxnn ppxXxXxXP11 )1(,2211 ? ?????niixnppp1)1()1( 若取 ??? niin xnxxxT1211),( ? 1),( 21 ?nxxxh ? nTnn ppppxxxTg )1()1())。,((21 ? 則 ? ?nn xXxXxXP ??? , 2211 ? ))。 證明 樣本的聯(lián)合分布密度為 ????????? ??niinxL122)(21e x p)2(1)( ????? ?????????? ??niinnxnx122222221e x p)2(1??????? ))。此時，顯然不能說 ??niix12 是2? 的充分統(tǒng)計量。( xF ，若對任意一個滿足 ? ? 0)( ?XgE?，對一切 ??? （ 1 .5 ） 的隨機變量 )( Xg ，總有 ? ? 10)( ??XgP?，對一切 ??? ， （ 1 .6 ） 則稱 ? ????? ),。( xFT是完備的分布函數(shù)族，則稱),( 21 nXXXTT ?? 為 完備統(tǒng)計量 。由例 1 .3 知 ???niiXnX11是的 p 充分統(tǒng)計量。 上式是關于 ??????? pp1的多項式，對一切 10 ?? p 要使多項式值為零，只能是它的每項系數(shù)為零，即 ),2,1,0(0 nknkg ?????????。 四、指數(shù)型分布族 要判斷一個統(tǒng)計量 ),(21 nXXXTT ?? 是否為參數(shù) ? 的充分統(tǒng)計量和完備統(tǒng)計量，一般是很復雜的。( ?xf為指數(shù)型分布族，即樣本的聯(lián)合分布密度具有如下形式： ? ?2. 9 ),( ),()(ex p)()。 與式（ ）比較有 ??neC??)( ， ???niinxxxxh121!1),( ? ， ????niinxxnxxxT1211),( ? ， ?? ln)( nb
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