【正文】 第六章 方差分析 第一節(jié) 方差分析的基本原理 第二節(jié) 多重比較 第三節(jié) 方差分析的線性模型與期望均方 第四節(jié) 單向分組資料的方差分析 第五節(jié) 兩向分組資料的方差分析 第六節(jié) 方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 第一節(jié) 方差分析的基本原理 所謂 方差分析 (analysis of variance) ,是關于 k(k≥3)個樣本平均數(shù)的假設測驗方法，是將總變異剖分為各個變異來源的相應部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對重要程度的一種統(tǒng)計分析方法。 假設測驗的依據(jù)是 :扣除了各種試驗原因所引起的變異后的剩余變異提供了試驗誤差的無偏估計 。 這里采用均方來度量試驗處理產(chǎn)生的變異和誤差引起的變異 . 方差 是平方和除以自由度的商。 一、自由度和平方和的分解 設有 k組數(shù)據(jù)，每組皆具 n個觀察值，則該資料共有 nk個觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表 。 表 每組具 n個觀察值的 k 組數(shù)據(jù)的符號表 組別 觀察值 ( yij， i=1， 2， … ， k； j=1,2… ， n) 總和 平均 均方 1 y11 y12 … y1j … y1n T1 2 y21 y22 … y2j … y2n T2 … … i yi1 yi2 … yij … yin Ti … … k yk1 yk2 … ykj … ykn Tk ?????? ??? ??? yyT ij????1y2yiykyy??21s22s2is??2ks 在表 ，總變異是 nk個觀察值的變異，故其自由度 v = nk－ 1，而其平方和 SST則為： ? ????? nk nk ijijT CyyySS1 122)(（ 61） 其中的 C稱為矯正數(shù)： nkTnkyC 22 ??? )( (62) 對于第 i 組的變異，有 212121121212)()()())((2)()()(yynyyyyyyyyyyyyyyyyinjiijnjinjiiijnjiijnjiiijnjij????????????????????????????從而總變異 (61)可以剖分為 : ? ??? ? ??? ? ???? ?? ?ki ikinj iijkinj ijTyynyyyySS121 121 12 )()()(（ 63） 即 總平方和 =組內(nèi) (誤差 )平方和 +處理平方和 組間變異由 k個 的變異引起，故其自由度 v =k－ 1 , 組間平方和 SSt 為： iy? ????? k k iit CnTyynSS1 122)( 組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度 v =n－ 1和平方和 ；而資料共有 k 組，故組內(nèi)自由度 v = k (n－ 1) ,組內(nèi)平方和 SSe 為： ? ?n iij yy12)(? ? ???? k n tTiije SSSSyySS1 12 ])([ (65) （ 64） 因此，得到表 ： 1)(1)(1)( ????? nkknk (66) 總自由度 DFT =組間自由度 DFt +組內(nèi)自由度 DFe 求得各變異來源的自由度和平方和后，進而可得 : (67) ???????????????????????? ??? ?)()()()(1 2 1 222222nkyysMSkyynsMSnkyysMSiijeeittijTT組內(nèi)均方組間的均方總的均方 [例 ] 以 A、 B、 C、 D 4種藥劑處理水稻種子，其中 A為對照，每處理各得 4個苗高觀察值 (cm)，其結(jié)果如表 ，試分解其自由度和平方和。 表 水稻不同藥劑處理的苗高 (cm) 藥劑 苗高觀察值 總和 Ti 平均 A 18 21 20 13 72 18 B 20 24 26 22 92 23 C 10 15 17 14 56 14 D 28 27 29 32 116 29 T=336 =21 iyy 根據(jù) (66)進行總自由度的剖分： 總變異自由度 DFT=(nk－ 1)=(4?4)－ 1=15 藥劑間自由度 DFt=(k－ 1)=4－ 1=3 藥劑內(nèi)自由度 DFe=k(n－ 1)=4?(4－ 1)=12 根據(jù) (63)進行總平方和的剖分： 7 0 5 6443 3 622???? nkTC6 0 2322118 2222 ???????? ? ? CCySS ijT ?5044)116569272()(2222122?????????? ? ?C/CnTyynSSkiit或 5 0 4])2129()2114()2123()2118[(4 2222 ??????????tSS98504602)(1 1 1 1222????????? ? ? ? ?tTk n nk kiijiijeSSSSnTyyySS或 藥劑 A內(nèi)： 藥劑 B內(nèi)： 藥劑 C內(nèi)： 藥劑 D內(nèi)： 3847213202118 222221 ??????eSS2049222262420 222222 ??????eSS2645614171510 222223 ??????eSS1441 1 632292728 222224 ??????eSS所以 ? ? ??????? k n iije yySS1 12 9814262038)( 進而可得均方： 1340156022 ./sMS TT ???0016835042 ./sMS tt ???17812982 ./sMS ee ???二、 F分布與 F測驗 在一個平均數(shù)為 、方差為 的正態(tài)總體中，隨機抽取兩個獨立樣本，分別求得其均方 s12 和 s22，將 s12 和 s22 的比值定義為 F： ? 2?2221)( ssF ?21， ??（ 68） 此 F值具有 s12 的自由度 v1 和 s22 的自由度 v2。 所謂 F分布 ，就是在給定的 v1 和 v2 下按上述方法從正態(tài)總體中進行一系列抽樣，就可得到一系列的 F 值而作成一個分布。 F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計表查出。 F分布曲線特征： （ 1）具有平均數(shù) =1 （ 2）取值區(qū)間為 [0， ∞]； （ 3）某一特定曲線的形 狀則僅決定于參數(shù) v1和 v2 。 ?在 v1=1或 v1=2時， F分布 曲線是嚴重傾斜成反向 J型； F? Ff(F)?當 v1≥3時，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài) (圖 )。 4,5 21 ?? ??5,2 21 ?? ??5,1 21 ?? ??圖 F分布曲線 （隨 v1和 v2的不同而不同） F測驗需具備條件： (1)變數(shù) y遵循正態(tài)分布 N( ， )， (2) s12 和 s22 彼此獨立 。 ? 2? 另外，在 F 測驗中，如果作分子的均方小于作分母的均方，則 F1；此時不必查 F表即可確定 P，應接受H0。 [例 ] 測定東方紅 3號小麥的蛋白質(zhì)含量 10次，得均方 s12 =；測定農(nóng)大 139小麥的蛋白質(zhì)含量 5次，得均方 s22 =。試測驗東方紅 3號小麥蛋白質(zhì)含量的變異是否比農(nóng)大 139為大。 假設 H0：東方紅小麥總體蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大 139一樣，即 ，對 。 22210 : σσH ? 2221: σσH A ? 顯著水平 =， v1=9， v2 =4時， =。 ?測驗計算 : F = 此 F，即 P。 推斷：否定 H0，接受 HA，即東方紅 3號小麥蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大 139。 [例 ] 在例 st2=，藥劑內(nèi)均方 se2=，具自由度 v1=3， v2=12。試測驗藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？ 假設 對 220 : et σσH ? 22: etA σσH ?顯著水平 =， =。 ?測驗計算： F = 查附表 5 v1 =3， v2=12時 =， =，實得 F 。 推斷：否定 ，接受 ；即藥劑間變異顯著地大于藥劑內(nèi)變異，不同藥劑對水稻苗高是具有不同效應的。 220 : et σσH ? 22: etA σσH ? 例 ，列出方差分析表，如表 。 表 水稻藥劑處理苗高方差分析表 變異來源 DF SS MS F 顯著 F值 藥劑處理間 3 504 ＊＊ F (3,12) = 藥劑處理內(nèi)(誤差 ) 12 98 F (3,12) = 總 15 602 第二節(jié) 多重比較 所謂 多重比較（ multiple parisons） 是指一個試驗中 k個處理平均數(shù)間可能有 k(k－ 1)/2個比較，亦稱為 復式比較 。 多重比較有多種方法，本節(jié)將介紹常用的三種： 最小顯著差數(shù)法 復極差法 ( q法 ) Duncan氏新復極差法 一、最小顯著差數(shù)法 最小顯著差數(shù)法 (least significant difference，簡稱 LSD法 )， 法實質(zhì)上是第五章的 t 測驗。 其程序是： （ 1）在處理間的 F測驗為顯著的前提下，計算出顯著水平為 的最小顯著差數(shù) ； （ 2）任何兩個平均數(shù)的差數(shù) ( )，如其絕對值≥ ，即為在水平上差異顯著；反之，則為在水平上差異不顯著。 ? αLSDji yy ?αLSD已知： )21 ji，k，jis yytji yyji ?????；，( ?若 |t|≥ ， 即為在 水平上顯著。 ?t因此，最小顯著差數(shù)為： ji yy ? ?ji yystL S D ?? ??(69) 當兩樣本的容量 n相等時， nss eyy ji 22?? 在方差分析中，上式的 se2有了更精確的數(shù)值 MSe（因為此自由度增大），因此 (69)中 的為： ji yys ?eMSnMSs eyy ji 2?? (610) [例 ] 試以 LSD法測驗 表 均數(shù)間的差異顯著性。 由 (例 )計算得 F=， MSe=， DFe=12， 故 )( cm0224 1782 ..sji yy????由附表 4， v =12時， =， = 故 = =(cm) = =(cm) 然后將各種藥劑處理的苗高與對照苗高相比，差數(shù)大于 ；大于 。 二、 q法 q測驗是 StudentNewmanKeul基于極差的抽樣分布理論提出來的，或稱復極差測驗，有時又稱 SNK測驗或 NK測驗。 q法是將一組 k個平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差值 的。 q測驗因是根據(jù)極差抽樣分布原理的，其各個比較都可保證同一個 顯著水平。 ?LSR? q測驗尺度值構(gòu)成為： SEqL S R