第二章初等模型(已修改)
2025-08-13 13:10 本頁(yè)面
【正文】 第二章 初 等 模 型 一、公平的席位問(wèn)題 問(wèn)題的提出 把定量的席位分配給不同的單位，并使得分配盡可能 地“公正”，這就是所謂的“席位分配”問(wèn)題 . 問(wèn)題 某學(xué)校有 3個(gè)系，共 200名學(xué)生，其中甲系有學(xué) 生 100名，乙系有學(xué)生 60名，丙系有學(xué)生 40名?，F(xiàn)擬成 立有 20人組成的學(xué)生會(huì)，問(wèn)應(yīng)如何分配學(xué)生會(huì)名額？ 解 3個(gè)系的學(xué)生數(shù)所占須生總額的比例為 ，由 此不難得到名額分配方案為 。 5 : 3 : 210,6, 4 若丙系有 6名學(xué)生轉(zhuǎn)到他系，其中甲系 3人，乙系 3人， 此時(shí)應(yīng)如何分配名額呢？ 一般原則是先取整數(shù)分配，小數(shù)部分按取大原則。 甲系： ； 1032 0 1 0 . 3200?? 乙系： ； 632 0 6 . 3200?? 丙系： 。 342 0 3 . 4200??即：甲系 10人，乙系 6人，丙系 4人。 這樣的分配方案是否公平呢？ 假設(shè)學(xué)生會(huì)成員數(shù)上升到 21人，問(wèn)應(yīng)該如何分配？ 甲系： 。 1032 1 1 0 . 8 1 5200?? 乙系： 。 632 1 6 . 6 1 5200?? 丙系： . 342 1 3 . 5 7200??即：甲系 11人，乙系 7人，丙系 3人 . 從中可以看出這樣的分配方案并不合理 . 作為丙系的 代表是不會(huì)接受這樣的分配方案的 . 模型的建立 假設(shè) ，并且為有限個(gè)，設(shè)為 個(gè) 。 n ，并且不超過(guò)席位數(shù) . 設(shè) 單位數(shù)為 ，即 。 m mn? ，席位是按各集體的人員多少 來(lái)分配的 . 所謂公平原則指的是 : 每個(gè)席位在各自的集體中所代 表的人員數(shù)希望是相等的 . 建模 為體現(xiàn)公平性，引入指標(biāo) : 設(shè) 有 兩個(gè)集體，人員數(shù)分別是 ，分配 到的席位數(shù)為 ，故每個(gè)席位所代表的人員數(shù)分別 為 ,AB ,ABpp,ABnn顯然，若 ，則對(duì) 兩個(gè)集體而言，分配是絕 ABkk? ,AB,.ABABABppkknn??⑴ 對(duì)公平的 : 若不相等，則“絕對(duì)不公平度”為 但下面的例子說(shuō)明這樣的刻畫(huà)還是有缺陷的 . .ABABABppkknn? ? ? ⑵ 集體名 人員數(shù) 席位數(shù) 代表數(shù) 絕對(duì)不公平度 A 120 10 12 2 B 100 10 10 2 C 1020 10 102 2 D 1000 10 100 2 在上面的例子中，絕對(duì)不公平度都相等 : 2,A B C Dk k k k? ? ? ?但實(shí)際問(wèn)題是 : 間存在的不公平顯然要比 間 存在的不公平要大 . 為此我們引入 : ,AB ,CD 當(dāng) 時(shí)， 吃虧，稱 ABABABppkknn???A為 的相對(duì)不公平度； A? ?,1A B A BA A BB B Ak k p nr n nk p n?? ? ? ?⑶ 當(dāng) 時(shí)， 吃虧，稱 ABABABppkknn? ? ?B? ?,1B A B AB A BA A Bk k p nr n nk p n?? ? ? ?⑷ 為 的相對(duì)不公平度。 B 在前例中， ? ? ? ?, 0 . 2 , , 0 . 0 2 .A A B C C Dr n n r n n?? 我們的目標(biāo)是：在每一次分配時(shí)都使得相對(duì)不公平度 都達(dá)到最小 . 解模 設(shè) 單位已有席位 ， 單位有席位 ，并假定 吃 虧，即 ，因而 有意義 . AAn B Bn AABkk? ? ?,A A Br n n 現(xiàn)考慮下一個(gè)席位的分配 : ⑴ 席位分配給 仍然是 吃虧，即 A A,1ABABppnn??毫無(wú)疑問(wèn)，該席位應(yīng)該分配給 .A ⑵ 把下一個(gè)席位分配給 使 吃虧，即 A B,1ABABppnn??此時(shí)可算出 的相對(duì)不公平度 B? ? 11 , 1 ,BAB A BABpnr n npn?? ? ? ?⑸ ⑶ 把下一個(gè)席位分配給 一定是 吃虧，此時(shí)相對(duì)不 公平度為 B A? ? 1, 1 1 ,ABA A BBApnr n npn?? ? ? ?⑹ ⑷ 把下一個(gè)席位給 使 吃虧，這是不可能的。 B B 問(wèn)題的關(guān)鍵就是在⑵⑶情況下，通過(guò)比較相對(duì)不公平 度的大小，確定下一個(gè)席位的分配方案，原則是把下一 席位分配給相對(duì)不公平度大的一方。由此得到以下結(jié)論 : 當(dāng) 時(shí)，這一席位分配 給 。 ? ? ? ?, 1 1 ,A A B B A Br n n r n n? ? ?A 當(dāng) 時(shí)，這一席位分配 給 . ? ? ? ?, 1 1 ,A A B B A Br n n r n n? ? ?B 若 ，即 ? ? ? ?, 1 1 ,A A B B A Br n n r n n? ? ?111 1 ,A B B AB A A Bp n p np n p n??? ? ? ? ?上式等價(jià)于 ? ? ? ?22.11ABA A B Bppn n n n???⑺ 引入 ? ?2, , ,1iiiipQ i A Bnn???⑻
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