高三數(shù)學(xué)選擇題的解題方法與技巧(已修改)
2025-11-21 07:28 本頁(yè)面
【正文】 第 1 講 選擇題的解題方法與技巧 題型特點(diǎn)概述 選擇題是高考數(shù)學(xué)試卷的三大題型之一．選擇題的分?jǐn)?shù)一般占全卷的 4 0 % 左右，高考數(shù)學(xué)選擇題的基本特點(diǎn)是： ( 1 ) 絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的順序排列，主要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法能通過(guò)它得到充分的體現(xiàn)和應(yīng)用，并且因?yàn)樗€有相對(duì)難度 ( 如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等 ) ，所以選擇題已成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一． ( 2 ) 選擇題具有概括性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣、小巧靈活及有一定的綜合性和深度等特點(diǎn)，且每一題幾乎都有兩種或兩種 以上 的解法，能有效地檢測(cè)學(xué)生的思維層次及觀察、分析、判斷和推理能力． 目前高考數(shù)學(xué)選擇題采用的是一元選擇題 ( 即有且只有一個(gè)正確答案 ) ，由選擇題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，決定了解選擇題除常規(guī)方法外還有一些特殊的方法．解選擇題的基本原則是：“ 小題不能大做 ” ，要充分利用題目中 ( 包括題干和選項(xiàng) ) 提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷． 數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件． 解答數(shù)學(xué)選擇題的主要方法包括直接對(duì)照法、概念辨析法、圖象分析法、特例檢驗(yàn)法、排除法、逆向思維法等，這些方法既是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)，也是解題的有效手段． 解題方法例析 題型一 直接對(duì)照法 直接對(duì)照型選擇題是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條 件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知 識(shí)，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，從而直接得出 正確結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng) “ 對(duì)號(hào)入座 ” ，從 而確定正確的選擇支．這類選擇題往往是由計(jì)算題、應(yīng)用 題或證明題改編而來(lái)，其基本求解策略是由因?qū)Ч?，直? 求解． 例 1 設(shè)定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) 滿足 f ( x ) f ( x ＋ 2) ＝ 13 ，若 f ( 1 ) ＝ 2 ，則 f ( 99 ) 等于 ( ) A ． 13 B ． 2 C.132 D.213 思維啟迪 先求 f ( x ) 的周期． 解析 ∵ f ( x ＋ 2) ＝13f ( x )， ∴ f ( x ＋ 4) ＝13f ( x ＋ 2 )＝1313f ( x )＝ f ( x ) ． ∴ 函數(shù) f ( x ) 為周期函數(shù)，且 T ＝ 4. ∴ f ( 99) ＝ f (4 24 ＋ 3) ＝ f ( 3) ＝13f ( 1 )＝132. C 探究提高 直接法是解選擇題的最基本方法，運(yùn)用直接法 時(shí) ,要注意充分挖掘題設(shè)條件的特點(diǎn)，利用有關(guān)性質(zhì)和已有 的結(jié)論，迅速得到所需結(jié)論．如本題通過(guò)分析條件得到 f ( x )是周期為 4 的函數(shù)，利用周期性是快速解答此題的關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練 1 函數(shù) f ( x ) 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 滿足條件 f ( x ＋ 2) ＝1f ( x )， 若 f ( 1) ＝－ 5 ，則 f ( f ( 5) ) 的值為 ( ) A ． 5 B ．－ 5 C.15 D ．－15 解析 由 f ( x ＋ 2) ＝1f ( x )，得 f ( x ＋ 4) ＝1f ( x ＋ 2 )＝ f ( x ) ， 所以 f ( x ) 是以 4 為周期的函數(shù)，所以 f ( 5) ＝ f ( 1) ＝－ 5 ， 從而 f ( f ( 5) ) ＝ f ( － 5) ＝ f ( － 1) ＝1f ( － 1 ＋ 2 ) ＝1f ( 1 )＝－15. D 例 2 設(shè)雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的一條漸近線與拋物線 y ＝ x2＋ 1 只有 一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 ( ) A.54 B ． 5 C.52 D. 5 思維啟迪 求雙曲線的一條漸近線的斜率即 ba 的值，盡而求離心率． 解析 設(shè)雙曲線的漸近線方程為 y ＝ kx ，這條直線與拋物線 y ＝ x2＋ 1 相切，聯(lián)立????? y ＝ kxy ＝ x2＋ 1，整理得 x2－ kx ＋ 1 ＝0 ，則 Δ ＝ k2－ 4 ＝ 0 ，解得 k ＝ 177。2 ，即ba＝ 2 ，故雙曲線的離心率 e ＝ca＝c2a2 ＝a2＋ b2a2 ＝ 1 ＋ (ba)2＝ 5 . D 探究提高 關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，通常是聯(lián)立方程解方程組．本題即是利用漸近線與拋物線相切，求出漸近線斜率． 變式訓(xùn)練 2 已知雙曲線 C ：x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0) ，以 C 的右 焦點(diǎn)為圓心且與 C 的漸近線相切的圓的半徑是 ( ) A ． a B ． b C. ab D. a2＋ b2 解析 x2a2 －y2b2 ＝ 1 的其中一條漸近線方程為： y ＝－bax ，即 bx ＋ ay ＝ 0 ，而焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( c, 0) ，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離 d ＝|b a2＋ b2|a2＋ b2＝ b . 故選 B. B 題型二 概念辨析法 概念辨析是從題設(shè)條件出發(fā)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的辨析，進(jìn) 行少量運(yùn)算或推理，直接選擇出正確結(jié)論的方法．這類題 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性質(zhì)，這需 要考生在平時(shí)注意辨析有關(guān)概念，準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi) 涵與外延，同時(shí)在審題時(shí)要多加小心，準(zhǔn)確審題以保證正 確選擇．一般說(shuō)來(lái)，這類題目運(yùn)算量小，側(cè)重判斷，下筆 容易，但稍不留意則易誤入命題者設(shè)置的 “ 陷阱 ” ． 例 3 已知非零向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，給出下列條 件， ① a ＝ k b ( k ∈ R) ； ② x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 ； ③ ( a ＋ 3 b ) ∥ (2 a － b ) ； ④ a b ＝ | a || b |； ⑤ x21 y22 ＋ x22 y21 ≤ 2 x 1 x 2 y 1 y 2 . 其中能夠使得 a ∥ b 的個(gè)數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解析 顯然 ① 是正確的，這是共線向量的基本定理；② 是錯(cuò)誤的，這是兩個(gè)向量垂直的條件； ③ 是正確的，因?yàn)橛?( a ＋ 3 b ) ∥ (2 a － b ) ，可得 ( a ＋ 3 a ) ＝ λ (2 a －b ) ，當(dāng) λ ≠12時(shí)，整理得 a ＝λ
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