第3講凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃(已修改)
2025-08-01 06:21 本頁(yè)面
【正文】 第 3講 凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃 ? 凸集 (Convex Set) ? 凸函數(shù) (Convex Function) ? 凸規(guī)劃 (Convex Programming) 凸性 (Convexity)是最優(yōu)化理論必須涉及到基本概念 .具有凸性的非線(xiàn)性規(guī)劃模型是一類(lèi)特殊的重要模型，它在最優(yōu)化的理論證明及算法研究中具有非常重要的作用 . 凸集 定義 .1,...2,1, ,11????????miiniimiii miRxRx ??? 且其中.,...2,1, ,1miRxRx niimiii ?????? ?? 其中線(xiàn)性組合 (linear Combination) .,...2,1, ,1miRxRx niimiii ??????? 其中仿射組合 (Affine Combination) .1,...2,1, ,m1ii1????????? ??? 且其中 miRxRx niimiii凸組合 (Convex Combination) 凸錐組合 (Convex Cone Combination) 凸集 定義 例 二維情況下，兩點(diǎn) x1, x2 的 (a)線(xiàn)性組合為全平面； (b)仿射組合為過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)； (c)凸組合為連接這兩點(diǎn)的線(xiàn)段； (b)凸錐組合為以原點(diǎn)為錐頂并通過(guò)這兩點(diǎn)的錐 . 凸集 定義 凸集 定義 定義 1 設(shè)集合 ,nRD ? 若對(duì)于任意兩點(diǎn) , Dyx ? 及實(shí)數(shù) ? ? ,10 ?? ?? 都有： ? ? ,1 Dyx ??? ??則稱(chēng)集合 D 為 凸集 ． 常見(jiàn)的凸集 ： 單點(diǎn)集 { x }， 空集 ? ，整個(gè)歐氏空間 Rn， 超平面 ： ? ? ,2211 bxaxaxaRxH nnn ?????? ?半空間 ： ? ?? ?1 1 2 2 =nnnnTH x R a x a x a x bx R a x b? ? ? ? ? ? ???例： 證明超球 rx ? 為凸集． 證明 ： 設(shè) 為超球中的任意兩點(diǎn)， yx, ,10 ?? ?則有： ? ? yx ?? ?? 1? ? yx ?? ??? 1? ? , 1 rrr ???? ??即點(diǎn) ? ? yx ?? ?? 1 屬于超球 , 所以超球?yàn)橥辜? 凸集 舉例 (1) 任意多個(gè)凸集的交集 為凸集． (2) 設(shè) D 是凸集， ? 是一實(shí)數(shù)， 則下面的 集合是凸集： ? ?DxxyyD ??? ,??凸集 性質(zhì) (3) ? ?? ? .,|)b(。,|)a(221121212211212121是凸集是凸集上的凸集，則是和設(shè)DxDxxxDDDxDxxxDDRDD n??????????推論 ： ??kiii D1?設(shè) kiD i ,2,1, ?? 是凸集， 則 也是凸集， 其中 i?是實(shí)數(shù)． (4) S 是凸集當(dāng)且僅當(dāng) S中任意有限個(gè)點(diǎn)的凸 組合仍然在 S中 . 凸集 性質(zhì) 注： 和集 和 并集 有很大的區(qū)別，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集． 例 ： ? ?? ?RxxDT ?? 0,1 表示 x 軸上的點(diǎn)． ? ?? ?RyyD T ?? ,02 表示 y 軸上的點(diǎn)． 則 21 DD ?表示兩個(gè)軸的所有點(diǎn)， 它不是凸集； 221 RDD ??而 凸集 ． 凸集 性質(zhì) 定義 設(shè) S 中任意有限個(gè)點(diǎn)的所有凸組合所構(gòu)成的集合稱(chēng)為 S的凸包，記為 H(S),即 ,nRS ?凸集 凸包 (Convex Hull) ?????? ?????? ????miiii
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