矩陣論簡明教程課后習(xí)題與答案解析(已修改)
2025-07-07 14:08 本頁面
【正文】 習(xí) 題 一13. 設(shè)A C是Hermite矩陣。證明A是Hermite正定矩陣的充分必要條件是，存在Hermite正定矩陣B，使得A=B。解：若A是Hermit正定矩陣, 使得UAU=, ﹥0, I=1, 2, n.于是A=UU = UUUU令B=UU則 A=B.反之,當(dāng) A=B且B是Hermit正定矩陣時(shí),則因Hermit 正定矩陣的乘積仍為Hermit正定矩陣,故A是Hermit 正定的.14. 設(shè)A C是Hermite矩陣，則下列條件等價(jià):（1）A是Mermit半正定矩陣。（2）A的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù)。（3）存在矩陣P C,使得A=PP解：(1)(2). 因A是Hermit矩陣,則存在酉矩陣U,使得UAU=diag()令x=Uy, 其中 y=e. 則 x0. 于是xAx=y(UAU)y=≧0 (k=1, 2, n).(2)(3). A=Udiag()U=Udiag()diag()U令 P=diag()U, 則 A=PP .(3)(1). 任取x0, 有xAx=xPPx=≧0.習(xí) 題 二=（1+i，2,4i，1,0）的∞范數(shù)。 解：
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