山西專用20xx中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題七幾何圖形的探究猜想與證明課件(已修改)
2025-07-03 06:49 本頁面
【正文】 專題七 幾何圖形的探究猜想與證明類型一 一般的猜想探究題題型特點一般幾何題的猜想與證明近幾年在中考中間斷性出現(xiàn) ,以學(xué)生探究為主線 ,置身于數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決中 ,一般在 22題以綜合與實踐的形式出現(xiàn) ,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力 .常綜合平行線、等腰三角形 (等邊三角形 )、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識為一體 ,借助邏輯推理一步一步證明 ,建立方程模型思想 ,如常見的通過勾股定理、相似三角形對應(yīng)邊成研題型 解易比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關(guān)于未知數(shù)的方程 ,從而求解 .方法規(guī)律在復(fù)習(xí)一般幾何題的猜想探究題目時 ,要注意證明推理和方程模型計算的綜合 ,要對條件進行合理猜想與推理 ,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗及對題目的把握靈活處理 .復(fù)習(xí)時注意以下幾點 :注意總結(jié)考查知識的面與點 ,了解此類題目的特點 。針對此類問題的練習(xí)要注意總結(jié)知識間的聯(lián)系 ,提升思維的開放性 。針對自己在做題中遇到的問題進行相應(yīng)的總結(jié)與練習(xí) ,不斷提升分析問題、解決問題的能力 .典例 1(2022山西 )問題情境 :在數(shù)學(xué)活動課上 ,老師出示了這樣一個問題 :如圖1,在矩形 ABCD中 ,AD=2AB,E是 AB延長線上一點 ,且 BE=AB,連接 DE,交 BC于點 M,以 DE為一邊在 DE的左下方作正方形 DEFG,連接 AM與DE的位置關(guān)系 .探究展示 :勤奮小組發(fā)現(xiàn) ,AM垂直平分 DE,并展示了如下的證明方法 :解題策略圖 1 證明 :∵ BE=AB,∴ AE=2AB.∵ AD=2AB,∴ AD=AE.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC.∴ ? =? .(依據(jù) 1)∵ BE=AB,∴ ? =1.∴ EM=DM. 即 AM是 △ ADE的 DE邊上的中線 ,又 ∵ AD=AE, ∴ AM⊥ DE.(依據(jù) 2)∴ AM垂直平分 DE.反思交流 :(1)① 上述證明過程中的 “依據(jù) 1”“依據(jù) 2”分別是指什么 ?② 試判斷圖 1中的點 A是否在線段 GF的垂直平分線上 ,請直接回答 ,不必證明 。(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā) ,繼續(xù)進行探究 ,如圖 2,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的左下方作正方形 CEFG,發(fā)現(xiàn)點 G在線段 BC的垂直平分線上 ,請你給出證明 。探索發(fā)現(xiàn) :(3)如圖 3,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的右上方作正方形 CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點 C、點 B都在線段 AE的垂直平分線上 ,除此之外 ,請觀察矩形 ABCD和正方形 CEFG的頂點與邊 ,你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上 ?請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ,并加以證明 .?圖 2 ?圖 3思路點撥 根據(jù)平行線分線段成比例 ,三線合一 ,正方形、矩形性質(zhì) ,全等等知識解答 .(1)① 答 :依據(jù) 1:兩條直線被一組平行線所截 ,所得的對應(yīng)線段成比例 (或平行線分線段成比例 ).依據(jù) 2:等腰三角形頂角的平分線 ,底邊上的中線及底邊上的高互相重合 (或等腰三角形的 “三線合一 ”).② 答 :點 A在線段 GF的垂直平分線上 .(2)證明 △ GHC≌△ CBE,得出 HC? BH.(3)先證 △ ENF≌△ EBC,再證 BM? MC.開放解答解析 (1)① 依據(jù) 1:兩條直線被一組平行線所截 ,所得的對應(yīng)線段成比例 (或平行線分線段成比例 ).依據(jù) 2:等腰三角形頂角的平分線 ,底邊上的中線及底邊上的高互相重合 (或等腰三角形的 “三線合一 ”).② 點 A在線段 GF的垂直平分線上 .(2)過點 G作 GH⊥ BC于點 H,證明 :過點 G作 GH⊥ BC于點 H.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點 E在 AB的延長線上 ,∴∠ CBE=∠ ABC=∠ GHC=90176。.∴∠ 1+∠ 2=90176。.∵ 四邊形 CEFG為正方形 ,∴ CG=CE,∠ GCE=90176。.∴∠ 1+∠ 3=90176。,∴∠ 2=∠ 3.∴△ GHC≌△ CBE.∴ HC=BE.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC.∵ AD=2AB,BE=AB,∴ BC=2BE=2HC,∴ HC=BH.∴ GH垂直平分 BC.∴ 點 G在 BC的垂直平分線上 .(3)過點 F作 FM⊥ BC于點 M,過點 E作 EN⊥ FM于點 N,點 F在 BC邊的垂直平分線上 (或點 F在 AD邊的垂直平分線上 ).證法一 :過點 F作 FM? BC于點 M,過點 E作 EN? FM于點 N.則有 ∠ BMN=∠ ENM=∠ ENF=90176。.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點 E在 AB的延長線上 ,∴∠ CBE=∠ ABC=90176。.∴ 四邊形 BENM為矩形 .∴ BM=EN,∠ BEN=90176。.∴∠ 1+∠ 2=90176。.∵ 四邊形 CEFG為正方形 ,∴ EF=EC,∠ CEF=90176。.∴∠ 2+∠ 3=90176。.∴∠ 1=∠ 3.∵∠ CBE=∠ ENF=90176。,∴△ ENF≌△ EBC.∴ NE=BE.∴ BM=BE.∵ 四邊形ABCD是矩形 ,∴ AD=BC.∵ AD=2AB,AB=BE,∴ BC=2BM.∴ BM=MC.∴ FM垂直平分 BC,∴ 點 F在 BC邊的垂直平分線上 .證法二 :過 F作 FN⊥ BE交 BE的延長線于點 N,連接 FB,FC.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點 E在 AB的延長線上 ,∴∠ CBE=∠ ABC=∠
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