從古典幾何到現(xiàn)代幾何(已修改)
2025-07-01 23:47 本頁面
【正文】 從古典幾何到現(xiàn)代幾何 劉建成 教授 西北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院 幾何原本 ? 在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做 《 幾何原本 》 。 ? 事實(shí)上在當(dāng)時的社會，幾何并不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。 ? 這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的 主要結(jié)論有兩個 ： 幾何原本的主要結(jié)論 ?畢達(dá)哥拉斯定理 (勾股定理 )： 有一直角三角形 ABC，則長邊的平方會等于其它兩邊的平方和。由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形，那么兩個小正方形的面積和就會等于大正方形的面積。 ?內(nèi)角和定理： 三角形三內(nèi)角 之和等于 180176。 ，如果以弧 度 (radian) 為單位，也可以 說三角形三內(nèi)角之和等于 π ? 后人稱頌畢達(dá)哥拉斯定理，說它是平面幾何中 最重要 的定理。迄今為止，在任何有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無窮小的情形下成立。 ? 三角形內(nèi)角和為 180?，本質(zhì)上是說平面是平坦不具有 彎曲 的。Legendre首先指出它等價于下面所給出的命題： Legendre 畢達(dá) 哥拉斯 歐氏幾何對后世的影響 內(nèi)角和定理的等價命題 一直線與其它二直線相交后 ， 假設(shè)其同側(cè)二內(nèi)角和少于二直角 ， 則沿此側(cè)面延長此二直線 ， 它們必會在某處相交 。 歐 氏第五公 設(shè) 另一個簡單的說法是： 假使有一直線和線外一點(diǎn)，那么通過那個點(diǎn)就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行（ 平行者，就是這兩條直線不相交 ） 這個說法即 歐氏第五公設(shè) 。 第五公 設(shè)證明 的 失敗 ? 這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學(xué)家或是對數(shù)學(xué)有興趣的人便想從其它的公理去 推得 平行公理。 ? 而這努力延持了兩千年左右，后來證明這是 不可能 的，于是有了 非歐幾何學(xué) 的發(fā)現(xiàn)，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實(shí)。 下面是一些 嘗試 去用 歐 氏其它公理去 證明 第五公理的人： ? Ptolemy (168) ? Prolos (410485) ? Nasir al din al Tusi (1300) ? Levi ben Gerson (12881344) ? Cataldi (15481626) ? Giovanni Alfonso Borelli (16081679) ? Giordano Vitale (16331711) ? John Wallis (16161703) ? Gerolamo Saccheri (16671733) ? Johann Heinrich Lambert (17281777) ? Adrien Marie Legendre (1752 1833) Lambert Ptolemy Borelli 第五公 設(shè)證明 的 失敗 最后 ， 高斯 、 Bolyai和羅巴切夫斯基不約而同地發(fā)明了雙曲幾何 ──曲率 為負(fù)常數(shù)的二維曲面 。故老相傳 ， 高斯曾測量在 Harz山脈中由 Inselberg、 Brocken和Hoher三地形成的三角形 ， 看看其內(nèi)角和是否等于 180?。 高斯 Bolyai 羅巴切夫斯基 雙曲幾何 克萊茵（ F. Klein）創(chuàng)造了一種解析的方法，通過賦與在單位圓盤上任意兩點(diǎn)的某種距離，給出雙曲幾何的一個模型。后人稱之為 Klein模型。至此，人們終于證明了歐氏第五公理不可以由其它公理推導(dǎo)出來。 雙曲幾何給出第一個抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。 Klein Model和非 歐幾何 的 誕生 球面幾何 ? 球面幾何： 球面上當(dāng)然沒有“直線”，取而代之的是“大圓” 球面上以球心為圓心的的圓?！熬€段”則是大圓的圓弧。過球上任意不是對徑點(diǎn)的兩點(diǎn)，都有唯一的大圓把它們連起來。類似的，我們還可以定義兩條大圓弧的夾角為相應(yīng)切線的夾角。遺憾的是，由于任意兩個大圓都有兩個交點(diǎn)，球面幾何并不在歐氏幾何的體系內(nèi)。 球面幾何 ? 球面幾何： 球面幾何所討論的三角形是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內(nèi)角之和會大于 180176。 ，并且有一個非常 重要的公式 ： ? 球面幾何是非常有用的幾何， 天上（天文），地上（地理） 都用得著它。要是沒有球面 幾何學(xué)，大航海時代恐怕很 難到來，誰讓地球是圓的呢？ 2RCBA面積???? ?球面三角形效果圖 雙曲幾何、非歐幾何 ? 雙曲幾何 ： 在這個情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于 180176。 的，即有如下的 重要公式 ： ? 非歐幾何： 球面幾何 與雙曲幾何 統(tǒng)稱為 非歐幾何 。 2RCBA面積????? ?內(nèi)角和公式的解釋 ? 代表非歐幾何的一個 絕對的度量 ，表示彎曲程度，叫 曲率 。 ? 因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式里。這在數(shù)學(xué)或物理上是一個 重要發(fā)展 ，因為愛因斯坦的相對論中，曲率＝ 代表一個場的 力 ，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。 2RCBA面積???? ?2/1 R2RCBA面積????? ?2/1 R內(nèi)角和公式的解釋 ? 球面幾何中曲率是正的，雙曲幾何中曲率是負(fù)的。而其相對應(yīng)的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于 180176。 之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理。 ? 從這些公式可以看出，三角形的面積
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