平面幾何的26個(gè)定理(已修改)
2025-07-01 22:03 本頁面
【正文】 . .. . ..高一數(shù)學(xué)競賽班二試講義第1講 平面幾何中的26個(gè)定理班級 姓名 一、知識點(diǎn)金1. 梅涅勞斯定理：若直線不經(jīng)過的頂點(diǎn)， 并且與的三邊或它們的延長線 分別交于，則 注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立 （用同一法證明）2. 塞瓦定理： 設(shè)分別是的三邊或它們的延長線上的點(diǎn)，若三線共點(diǎn)，則注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四邊形中，有，并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。EDCBA注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：若從外接圓上一點(diǎn)作的垂線， 垂足分別為，則三點(diǎn)共線。 西姆松定理的逆定理：從一點(diǎn)作的垂線，垂足分別為。若三點(diǎn)共線，則點(diǎn)在的外接圓上。5． 蝴蝶定理：圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。證明：過圓心O作AD與BC的垂線，垂足為S、T，連接OX，OY，OM，SM，MT。 ∵△AMD∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC ∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT 又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT ∴∠MSX=∠MTY ∵∠OMX=∠OSX=90176。 ∴∠OMX+∠OSX=180176。 ∴O，S，X，M四點(diǎn)共圓 同理，O，T，Y，M四點(diǎn)共圓 ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX ∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM 注：把圓換成橢圓、拋物線、雙曲線蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：設(shè)是已知圓的弦，是上一點(diǎn)，弦過點(diǎn)，連結(jié)，分別交于，則。7． 斯特瓦爾特定理：設(shè)為的邊上任一點(diǎn)，則有 。 注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立8．張角定理： 設(shè)順次分別是平面內(nèi)一點(diǎn)所引三條射線上的點(diǎn)，線段 對點(diǎn)的張角分別為，且，則三點(diǎn)共線的充要條件是： 9．九點(diǎn)圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)，以及垂心與頂點(diǎn)的三條連接線段的中點(diǎn)， 共九點(diǎn)共圓。此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，或稱歐拉圓。的九點(diǎn)圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點(diǎn)，九點(diǎn)圓的半徑是的外接圓半徑的。證明：的九點(diǎn)圓與的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為內(nèi)位似中心。位似比均為。10．歐拉線：的垂心，重心，外心三點(diǎn)共線。此線稱為歐拉線，且有關(guān)系：11．歐拉公式：設(shè)三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為和，則這兩圓的圓心距。由此可知。 證明：設(shè)外心為，內(nèi)心為，連結(jié)，延長交外接圓于兩點(diǎn)，令，交外接圓于，則12．笛沙格定理。在和中，若相交于一點(diǎn)，則與，與，與的交點(diǎn)共線。證明：和梅尼線，；和梅尼線，；和梅尼線，三式相乘，得。得證13．牛頓（Newton）定理1： 圓的外切四邊形的對角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對角線交點(diǎn)重合。 證法1：設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E,F,G,H. 首先證明,直線AC,EG,FH分別交AC于點(diǎn)I,I39。. 顯然 ∠AHI‘=∠BFI ’ ，因此易知 AI39。*HI39。/FI39。*CI39。=S(AI39。H)/S(CI39。F)=AH*HI39。/CF*FI39。 故 AI39。/CI39。=AH/CF. 同樣可證:AI/CI=AE/CG 又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI39。/CI39。. 從而I,I39。,EG,FH交于一點(diǎn). 同理可證:直線BD,EG,FH交于一點(diǎn). 因此 直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn)。證法2：外四邊形為ABCD，對應(yīng)內(nèi)切四邊形為EFGH。連接EG，F(xiàn)H交于P。下面證明BD過P即可。 過D座EG的平行線交BA與S，過D做FH的平行線交BC于T。由于弦切角及同位
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