【正文】 2由測(cè)量知道彈簧振子的固有頻率是每秒50周，若將質(zhì)量塊的質(zhì)量增大5g時(shí)，其固有頻率變?yōu)槊棵?5周。試求彈性系數(shù)。解：2一臺(tái)機(jī)器為隔振而裝在一組彈簧上，在平衡時(shí)由于機(jī)器的質(zhì)量而使彈簧壓縮了25mm。求豎直方向振動(dòng)的角頻率。解：，2如題圖24所示，由弦與質(zhì)點(diǎn)塊組成的振子。弦長(zhǎng)l，受張力固定于兩端。質(zhì)點(diǎn)塊質(zhì)量m距兩端各為a和b。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)引離平衡位置x時(shí)（），試問(wèn)（1）m遠(yuǎn)大于弦的質(zhì)量時(shí)，質(zhì)量塊所受恢復(fù)平衡力等于什么？（2）這時(shí)突然去掉外力，使之作垂直于弦平衡方向振動(dòng)，其最低固有頻率為多少？當(dāng)改變質(zhì)點(diǎn)位置a為何值時(shí)，其振動(dòng)頻率值最低。解：設(shè)張力為T(mén)，由于故有：；（1）所以： （2）撤離外力，所以：；而最低固有頻率： 即 最小值，即分母最大值，即最大值點(diǎn)，所以對(duì)a求導(dǎo)有：代入上式得到：2在一彈性系數(shù)為k的彈簧上加一重物M組成一振動(dòng)系統(tǒng)，其固有頻率為。（1）若使系統(tǒng)的改變，可采用什么辦法？（2）若重物加重一倍而使保持不變。試問(wèn)應(yīng)添加幾只彈簧？如何連接？（3）若重物減輕一半但頻率不變，應(yīng)增加幾只彈簧？如何連接？解：（1），改變k或m可使系統(tǒng)的固有頻率改變。（2），用兩只彈簧并聯(lián)MMkkMkk（3） ，用兩只彈簧串聯(lián)2求出題圖27中所示振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。ablxm題圖24MkkMMkMMkkk 雙彈簧串連相接假設(shè)兩根彈簧在質(zhì)量m的重力作用作用下，產(chǎn)生的靜態(tài)位移分別為 和 ，于是每一彈簧所產(chǎn)生的彈力分別為 和 ，因?yàn)閮筛鶑椈墒谴B相接每一根彈簧受到質(zhì)量m的拉力都相等，且等于mg，因此根據(jù)靜力學(xué)平衡條件可得： 雙彈簧并連相接假設(shè)兩根彈簧在質(zhì)量m的重力作用作用下，產(chǎn)生的靜態(tài)位移相同均為 ，于是每一彈簧所產(chǎn)生的彈力分別為 和 ，這時(shí)作用在質(zhì)量m的上共有三個(gè)力，質(zhì)量多重力和兩根彈簧的彈力。因此根據(jù)靜力學(xué)平衡條件可得：2 由質(zhì)量M和兩只彈簧組成一振動(dòng)系統(tǒng)。在彈性系數(shù)、原長(zhǎng)的彈簧一端掛上質(zhì)量M，另一端與彈性系數(shù)、原長(zhǎng)的彈簧相連。試求：（1）彈簧另一端固定于天花板時(shí)，由于質(zhì)量M受重力作用使系統(tǒng)長(zhǎng)度變成多大？（2）若將此系統(tǒng)橫在桌面上，彈簧一端固定在垂直墻壁上。質(zhì)量M于桌面無(wú)摩擦，系統(tǒng)作自由振動(dòng)的固有頻率是否改變？為什么？解：（1），系統(tǒng)總長(zhǎng)（2）固有頻率不變，為21在5s內(nèi)達(dá)到最高的位置15次。若質(zhì)量塊的質(zhì)量為1g，試求其振動(dòng)的頻率、位移振幅和彈簧的彈性系數(shù)。解：振動(dòng)的平衡位置距離該固定水平面的高度為=(cm)在5秒內(nèi)達(dá)到最高位置15次，則頻率為15/5=3(Hz)D1D2mD1D2m (N/m)21一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的振幅為A，試問(wèn)當(dāng)其振動(dòng)的動(dòng)能于彈性勢(shì)能相等時(shí)的位移瞬時(shí)值為多大？解：21一質(zhì)量塊m能在水平作面上無(wú)摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量塊連一條很輕的線，線穿過(guò)作面上的一個(gè)很小的孔并可無(wú)摩擦地滑動(dòng)。線的另一端受恒力F向下拉。這質(zhì)量塊（比孔大，不會(huì)穿過(guò)小孔）開(kāi)始時(shí)靜止在離孔距離D處，然后運(yùn)動(dòng)。試列出質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程并解之。運(yùn)動(dòng)與否是周期性的？如果是，求其頻率，且頻率與D有何關(guān)系？FxmD0解： 在右側(cè)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為： ， 有： 此處； ① 當(dāng)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間為： 此時(shí)速度： 由于慣性作用繼續(xù)向前跑運(yùn)行到左側(cè)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為：；： ②當(dāng)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后返回，再次過(guò)0點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間為：（另一根舍去）此時(shí)速度為： 由于慣性作用過(guò)零點(diǎn)后繼續(xù)跑FxmD0此時(shí)運(yùn)動(dòng)方程同①中最開(kāi)始時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程， ；此時(shí)：③當(dāng)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后返回，第三次過(guò)0點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間為：（另一根舍去）此時(shí)速度為： 由于慣性作用繼續(xù)向前跑此時(shí)運(yùn)動(dòng)方程同第一次過(guò)零點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)方程相同（受力相同），就連初條件也相同，只是初始時(shí)間不同，所以可得：此時(shí)：可見(jiàn)其運(yùn)動(dòng)是周期性的。周期為 21 試?yán)L出彈簧振子系統(tǒng)位移的圖形：23試證：彈簧振子受迫振動(dòng)中的位移振幅的低頻極限值、速度共振時(shí)的速度振幅值及加速度振幅的高頻極限值均與頻率無(wú)關(guān)。解：假設(shè)彈簧振子受迫振動(dòng)外力為：，彈簧彈性系數(shù)為D，質(zhì)量塊m，阻尼系數(shù)為Rm（1）則運(yùn)動(dòng)方程為： 令帶入方程得位移響應(yīng)為： 振幅： 位移振幅的低頻極限值：與頻率無(wú)關(guān)。（2）由位移響應(yīng)可得速度響應(yīng)：其振幅為： 共振時(shí)：速度共振時(shí)的速度振幅值與頻率無(wú)關(guān)。 （3）由速度響應(yīng)可得加速度響應(yīng)：其振幅為： 極高頻時(shí)：加速度高頻極限值與頻率無(wú)關(guān)。23在彈性系數(shù)為150N/，系統(tǒng)所受外力 N。試求：（1）位移振幅、速度振幅和加速度振幅的穩(wěn)態(tài)值；（2）一個(gè)周期內(nèi)平均損耗功率；（3）系統(tǒng)的速度共振頻率及其在此頻率下的位移振幅、速度振幅、加速度振幅和一周期內(nèi)的平均損耗功率（外加力的幅值同前）；（4）系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)及半功率點(diǎn)頻帶寬度。解：已知；N/m；kg/s又 N；；由復(fù)數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程：； （1） 可解得：位移穩(wěn)態(tài)解的幅值響應(yīng)函數(shù)值： m速度穩(wěn)態(tài)解的幅值響應(yīng)函數(shù)值： m/s加速度穩(wěn)態(tài)解的幅值響應(yīng)函數(shù)值： m/s2（2） 由上可得： （3） 系統(tǒng)的速度共振頻率為： Hz m m/s m/s2 W（4） Hz23一質(zhì)量塊m固定在彈性系數(shù)為k的彈簧的下端，彈簧上端以振幅上下振動(dòng)，質(zhì)量塊的摩擦力正比于質(zhì)量塊和彈簧上端的相對(duì)速度（），這里。試求質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程，并證此質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是 x落后于彈簧頂端位移的相角是x的振幅值等于什么？x的初相角和振幅在極低頻率和極高頻率時(shí)各等于什么？解：①設(shè)摩擦力與速度的比例系數(shù)為則質(zhì)量塊所受摩擦力可表示為：而質(zhì)量塊所受的彈簧彈力為：因此有運(yùn)動(dòng)方程： 設(shè)穩(wěn)態(tài)解代入上式得： 即得證。② 頂端位移為因此由公式可得：其中；；x落后于頂端位移的相角為，即得證。③ 由上可知x的振幅為，相角為：④ 極低頻率時(shí)：極高頻率時(shí)：極低頻率時(shí)：極高頻率時(shí)：24有如下的沖擊力作用在彈簧振子系統(tǒng)的質(zhì)量塊上，試求此振動(dòng)系統(tǒng)的位移響應(yīng)函數(shù)。 解： 設(shè)彈簧彈性系數(shù)為D，質(zhì)量塊質(zhì)量為m，則運(yùn)動(dòng)方程為 * 對(duì)*方程兩側(cè)作富麗葉變換有： 因?yàn)榇肷鲜降茫呵笃涓畸惾~反變換：m沒(méi)k1k2mk1x1x212x1x224如題圖246有兩個(gè)耦合振子。試求出：（1）耦合振動(dòng)方程；（2）、各等于多少？（3）分別以和作簡(jiǎn)正振動(dòng)時(shí)兩質(zhì)量塊位移振幅的比值等于什么？（、為振子2或振子1固定不動(dòng)時(shí)分振子的固有振動(dòng)角頻率； 為耦合系統(tǒng)振動(dòng)的固有角頻率解：分析受力：（1）則對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程為 ①令；；代入①式得到： ② K決定了振子2對(duì)兩個(gè)振子1的耦合作用程度（2） 此方程組為二階齊次線性微分方程組，它的解為指數(shù)形式：代入到②式中得到：* 此特征方程式，有四個(gè)根：假設(shè) 即，有兩個(gè)值，以、表示有： （3）由上可得方程的解為： 其中A+，A+`，A，A`，B+，B+`，B，B`有關(guān)系（通過(guò)方程*形成的關(guān)系），真正獨(dú)立的只有4個(gè)，并且這4個(gè)獨(dú)立量由初條件確定。*式中取第一式有 ；以作簡(jiǎn)正振動(dòng)時(shí)： 所以二者振幅之比為：，以作簡(jiǎn)正振動(dòng)時(shí)，同理可得：