【正文】 第三章 函數(shù)與圖象 167。 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (安徽專用 ) A組 2022— 2022年安徽中考題組 五年中考 1.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,一次函數(shù) y1=x與二次函數(shù) y2=ax2+bx+c的圖象相交于 P、 Q兩點 ,則函 數(shù) y=ax2+(b1)x+c的圖象可能為 ? ( ) ? ? 答案 A 由題圖可知一元二次方程 ax2+bx+c=x有兩個不等的正實數(shù)根 ,即函數(shù) y=ax2+(b1)x+ c的圖象與 x軸正半軸有兩個交點 ,故選 A. 2.(2022安徽 ,12,5分 )某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為 a元 ,以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與 上月相比增長率都是 x,則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金 y(元 )關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式為 y= . 答案 a(1+x)2 解析 ∵ 一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為 a元 ,二月份起 ,每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長 率都是 x, ∴ 二月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為 a(1+x)元 , ∴ 三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為 a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元 , 即 y=a(1+x)2. 3.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計 ,盆景 的平均每盆利潤是 160元 ,花卉的平均每盆利潤是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤減少 2元 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (2)當(dāng) x取何值時 ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當(dāng) x=10時 ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達式 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 4.(2022安徽 ,22,12分 )某超市銷售一種商品 ,成本每千克 40元 ,規(guī)定每千克售價不低于成本 ,且不 高于 80元 .經(jīng)市場調(diào)查 ,每天的銷售量 y(千克 )與每千克售價 x(元 )滿足一次函數(shù)關(guān)系 ,部分?jǐn)?shù)據(jù) 如下表 : 售價 x(元 ) 50 60 70 銷售量 y(千克 ) 100 80 60 (1)求 y與 x之間的函數(shù)表達式 。 (2)設(shè)商品每天的總利潤為 W(元 ),求 W與 x之間的函數(shù)表達式 (利潤 =收入 成本 )。 (3)試說明 (2)中總利潤 W隨售價 x的變化而變化的情況 ,并指出售價為多少元時獲得最大利潤 , 最大利潤是多少 ? 解析 (1)設(shè) y=kx+b(k≠ 0). 由題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 所求函數(shù)表達式為 y=2x+200.? (4分 ) (2)W=(x40)(2x+200)=2x2+280x8 000.? (7分 ) (3)W=2x2+280x8 000=2(x70)2+1 800,其中 40≤ x≤ 80. ∵ 20,∴ 當(dāng) 40≤ x70時 ,W隨 x的增大而增大 。 當(dāng) 70x≤ 80時 ,W隨 x的增大而減小 。 當(dāng)售價為 70元時 ,獲得最大利潤 ,最大利潤為 1 800元 .? (12分 ) 50 100,60 ???? ??? 2, ???? ??思路分析 (1)由圖表可根據(jù)待定系數(shù)法求出 y與 x之間的函數(shù)表達式 。(2)根據(jù)公式即可求出 W 與 x之間的函數(shù)表達式 。(3)利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大利潤 . 5.(2022安徽 ,22,12分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點 A(2,4)與 B(6,0). (1)求 a,b的值 。 (2)點 C是該二次函數(shù)圖象上 A,B兩點之間的一動點 ,橫坐標(biāo)為 x(2x6).寫出四邊形 OACB的面 積 S關(guān)于點 C的橫坐標(biāo) x的函數(shù)表達式 ,并求 S的最大值 . ? 解析 (1)將 A(2,4)與 B(6,0)代入 y=ax2+bx, 得 ? 解得 ? ? (5分 ) (2)如圖 ,過 A作 x軸的垂線 ,垂足為 D(2,0),連接 CD,過 C作 CE⊥ AD,CF⊥ x軸 ,垂足分別為 E,F. ? 二次函數(shù)表達式為 y=? x2+3x. S△ OAD=? ODAD=? 24=4, S△ ACD=? ADCE=? 4(x2)=2x4, 4 2 4,36 6 0,abab???? ??? 1 ,23.ab? ???????1212 1212 12S△ BCD=? BDCF=? 4? =x2+6x,? (8分 ) 則 S=S△ OAD+S△ ACD+S△ BCD=4+(2x4)+(x2+6x)=x2+8x. 所以 S關(guān)于 x的函數(shù)表達式為 S=x2+8x(2x6).? (10分 ) 因為 S=(x4)2+16, 所以當(dāng) x=4時 ,四邊形 OACB的面積 S取最大值 ,最大值為 16.(12分 ) 12 1221 32 xx????????思路分析 (1)將 A,B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式 ,解方程組即可 。(2)利用割補思想將四邊形 OACB分割成三個三角形 ,求出 S關(guān)于 x的函數(shù)表達式 ,最后求 S的最大值 . 方法指導(dǎo) 求不規(guī)則四邊形的面積往往采用割補思想將原圖形的面積轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的 三角形或平行四邊形的面積求解 . 考點一 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) B組 2022— 2022年全國中考題組 1.(2022四川成都 ,10,3分 )關(guān)于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點坐標(biāo)為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時 ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因為 y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當(dāng) x=0時 ,y=1,選項 A錯誤 。該函數(shù)圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項 B錯誤 。當(dāng) x1時 ,y隨 x的增大而減小 ,選項 C錯誤 。當(dāng) x=1時 ,y取得最小值 ,此時 y= 3,選項 D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會用配方法求二次函數(shù)的最值 . 2.(2022山西 ,9,3分 )用配方法將二次函數(shù) y=x28x9化為 y=a(xh)2+k的形式為 ( ) =(x4)2+7 =(x4)225 =(x+4)2+7 =(x+4)225 答案 B y? x28x9? x28x+16169? (x4)225,故選 B. 3.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(0,3),其對稱軸在 y 軸右側(cè) .有下列結(jié)論 : ① 拋物線經(jīng)過點 (1,0)。 ② 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù)根 。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結(jié)論的個數(shù)為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線 不能經(jīng)過點 (1,0),∴ ① 錯誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(0,3),其對稱軸 在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個交點 ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù) 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba思路分析 拋物線經(jīng)過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,由對稱性可以判斷①錯誤 。由條件得拋物 線開口向下 ,作直線 y=2,直線與拋物線有兩個交點 ,可判斷②正確 。根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點及對 稱軸的位置 ,可判斷③正確 ,從而得結(jié)論 . 解后反思 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征 ,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系 ,二次函數(shù) 與一元二次方程的關(guān)系 ,不等式的性質(zhì)等知識 ,a的符號決定拋物線的開口方向 ,? 的符號決 定拋物線對稱軸的位置 ,c的值決定了拋物線與 y軸的交點坐標(biāo) . 2ba4.(2022四川南充 ,5,3分 )拋物線 y=x2+2x+3的對稱軸是 ? ( ) x=1 x=1 x=2 x=2 答案 B 拋物線的對稱軸為直線 x=? =? =1,故選 B. 2ba 225.(2022湖南長沙 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(ba0)與 x軸最多有一個交點 .現(xiàn)有以下四個 結(jié)論 : ① 該拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè) 。② 關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c+2=0無實數(shù)根 。③ ab+c≥ 0。④ ? 的最小值為 3. 其中 ,正確結(jié)論的個數(shù)為 ? ( ) abcba???答案 D ∵ ba0,∴ ? 0,∴ ① 正確 。 ∵ 拋物線與 x軸最多有一個交點 , ∴ b24ac≤ 0, ∴ 關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c+2=0的判別式 Δ=b24a(c+2)=b24ac8a0,∴ ② 正確 。 ∵ a0,且拋物線與 x軸最多有一個交點 , ∴ y≥ 0,∴ 當(dāng) x=1時 ,ab+c≥ 0,∴ ③ 正確 。 ∵ y≥ 0,∴ 當(dāng) x=2時 ,4a2b+c≥ 0,即 a+b+c≥ 3b3a, 即 a+b+c≥ 3(ba), ∵ ba,∴ ba0, ∴ ? ≥ 3,∴ ④ 正確 .故選 D. 2baabcba???6.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=? x2+? x+6與 x軸交于點 A,點 B,與 y軸交于點 C,若 D為 AB的中 點 ,則 CD的長為 ( ) A.? B.? C.? D.? 16 32154 92132 152答案 D 由題意知 ,點 D是拋物線的對稱軸與 x軸的交點 ,所以點 D的坐標(biāo)為 ? .對于 y=? x2 +? x+6,令 x=0,得 y=6,所以 C(0,6).所以 CD=? =? =? .故選 D. 9 ,02?????? 16322 29 0 (0 6)2??? ? ????? 2254 1527.(2022廣西南寧 ,10,3分 )如圖 ,已知經(jīng)過原點的拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的對稱軸為直線 x=1. 下列結(jié)論中 :① ab0。② a+b+c0。③ 當(dāng) 2x0時 ,y ? ( ) ? 答案 D 因為對稱軸為直線 x=? 0,所以 ab0,所以①正確 。當(dāng) x=1時 ,y=a+b+c0,所以②正 確 。由圖象可知拋物線與 x軸的交點坐標(biāo)為 (2,0),(0,0),所以 2x0時 ,圖象在 x軸下方 ,即 y0,所 以③正確 .故選 D. 2ba8.(2022甘肅蘭州 ,18,4分 )如圖 ,若拋物線 y=ax2+bx+c上的 P(4,0),Q兩點關(guān)于它的對稱軸 x=1對稱 , 則 Q點的坐標(biāo)為 . ? 答案 (2,0) 解析 P,Q兩點關(guān)于對稱軸 x=1對稱 ,則 P,Q兩點到對稱軸 x=1的距離相等 ,設(shè)點 Q的橫坐標(biāo)為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點的坐標(biāo)為 (2,0). 42 m?9.(2022寧夏 ,24,8分 )已知點 A(? ,3)在拋物線 y=? x2+? x上 ,設(shè)點 A關(guān)于拋物線對稱軸對稱的 點為 B. (1)求點 B的坐標(biāo) 。 (2)求 ∠ AOB的度數(shù) . 313 433解析 (1)解法一 :依題意 ,由對稱軸方程 x=? 得 ,x=2? ,(1分 ) ∵ 點 A、 B關(guān)于拋物線對稱軸 x=2? 對稱 , ∴ 由點 A(? ,3)知 ,點 B的坐標(biāo)為 (3? ,3).? (2分 ) 解法二 :∵ 點 A、 B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱 , ∴ 點 B也在拋物線上 , 當(dāng) y=3時 ,? x2+? x=3, 整理 ,得 x24? x+9=0,? (1分 ) 解得 x=3? 或 x=? , ∴ 點 B的坐標(biāo)