【正文】 第三章 函數與圖象 167。 二次函數 中考數學 (安徽專用 ) A組 2022— 2022年安徽中考題組 五年中考 1.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,一次函數 y1=x與二次函數 y2=ax2+bx+c的圖象相交于 P、 Q兩點 ,則函 數 y=ax2+(b1)x+c的圖象可能為 ? ( ) ? ? 答案 A 由題圖可知一元二次方程 ax2+bx+c=x有兩個不等的正實數根 ,即函數 y=ax2+(b1)x+ c的圖象與 x軸正半軸有兩個交點 ,故選 A. 2.(2022安徽 ,12,5分 )某廠今年一月份新產品的研發(fā)資金為 a元 ,以后每月新產品的研發(fā)資金與 上月相比增長率都是 x,則該廠今年三月份新產品的研發(fā)資金 y(元 )關于 x的函數關系式為 y= . 答案 a(1+x)2 解析 ∵ 一月份新產品的研發(fā)資金為 a元 ,二月份起 ,每月新產品的研發(fā)資金與上月相比增長 率都是 x, ∴ 二月份新產品的研發(fā)資金為 a(1+x)元 , ∴ 三月份新產品的研發(fā)資金為 a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元 , 即 y=a(1+x)2. 3.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計 ,盆景 的平均每盆利潤是 160元 ,花卉的平均每盆利潤是 19元 .調研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤減少 2元 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數式分別表示 W1,W2。 (2)當 x取何值時 ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數 , ∴ 當 x=10時 ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據題意分別列出 W1,W2關于 x的函數表達式 。(2)將二次函數的解析式配方 ,根據 x取整數及二次函數的性質求出 W的最大值 . 4.(2022安徽 ,22,12分 )某超市銷售一種商品 ,成本每千克 40元 ,規(guī)定每千克售價不低于成本 ,且不 高于 80元 .經市場調查 ,每天的銷售量 y(千克 )與每千克售價 x(元 )滿足一次函數關系 ,部分數據 如下表 : 售價 x(元 ) 50 60 70 銷售量 y(千克 ) 100 80 60 (1)求 y與 x之間的函數表達式 。 (2)設商品每天的總利潤為 W(元 ),求 W與 x之間的函數表達式 (利潤 =收入 成本 )。 (3)試說明 (2)中總利潤 W隨售價 x的變化而變化的情況 ,并指出售價為多少元時獲得最大利潤 , 最大利潤是多少 ? 解析 (1)設 y=kx+b(k≠ 0). 由題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 所求函數表達式為 y=2x+200.? (4分 ) (2)W=(x40)(2x+200)=2x2+280x8 000.? (7分 ) (3)W=2x2+280x8 000=2(x70)2+1 800,其中 40≤ x≤ 80. ∵ 20,∴ 當 40≤ x70時 ,W隨 x的增大而增大 。 當 70x≤ 80時 ,W隨 x的增大而減小 。 當售價為 70元時 ,獲得最大利潤 ,最大利潤為 1 800元 .? (12分 ) 50 100,60 ???? ??? 2, ???? ??思路分析 (1)由圖表可根據待定系數法求出 y與 x之間的函數表達式 。(2)根據公式即可求出 W 與 x之間的函數表達式 。(3)利用配方法和二次函數的性質即可求出最大利潤 . 5.(2022安徽 ,22,12分 )如圖 ,二次函數 y=ax2+bx的圖象經過點 A(2,4)與 B(6,0). (1)求 a,b的值 。 (2)點 C是該二次函數圖象上 A,B兩點之間的一動點 ,橫坐標為 x(2x6).寫出四邊形 OACB的面 積 S關于點 C的橫坐標 x的函數表達式 ,并求 S的最大值 . ? 解析 (1)將 A(2,4)與 B(6,0)代入 y=ax2+bx, 得 ? 解得 ? ? (5分 ) (2)如圖 ,過 A作 x軸的垂線 ,垂足為 D(2,0),連接 CD,過 C作 CE⊥ AD,CF⊥ x軸 ,垂足分別為 E,F. ? 二次函數表達式為 y=? x2+3x. S△ OAD=? ODAD=? 24=4, S△ ACD=? ADCE=? 4(x2)=2x4, 4 2 4,36 6 0,abab???? ??? 1 ,23.ab? ???????1212 1212 12S△ BCD=? BDCF=? 4? =x2+6x,? (8分 ) 則 S=S△ OAD+S△ ACD+S△ BCD=4+(2x4)+(x2+6x)=x2+8x. 所以 S關于 x的函數表達式為 S=x2+8x(2x6).? (10分 ) 因為 S=(x4)2+16, 所以當 x=4時 ,四邊形 OACB的面積 S取最大值 ,最大值為 16.(12分 ) 12 1221 32 xx????????思路分析 (1)將 A,B的坐標代入二次函數的解析式 ,解方程組即可 。(2)利用割補思想將四邊形 OACB分割成三個三角形 ,求出 S關于 x的函數表達式 ,最后求 S的最大值 . 方法指導 求不規(guī)則四邊形的面積往往采用割補思想將原圖形的面積轉化為我們所熟悉的 三角形或平行四邊形的面積求解 . 考點一 二次函數的圖象與性質 B組 2022— 2022年全國中考題組 1.(2022四川成都 ,10,3分 )關于二次函數 y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點坐標為 (0,1) y軸的右側 x0時 ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因為 y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當 x=0時 ,y=1,選項 A錯誤 。該函數圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項 B錯誤 。當 x1時 ,y隨 x的增大而減小 ,選項 C錯誤 。當 x=1時 ,y取得最小值 ,此時 y= 3,選項 D正確 .故選 D. 思路分析 根據題中的函數解析式以及二次函數的性質 ,可以判斷各個選項中的結論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關鍵 解答本題的關鍵是理解二次函數的性質 ,會用配方法求二次函數的最值 . 2.(2022山西 ,9,3分 )用配方法將二次函數 y=x28x9化為 y=a(xh)2+k的形式為 ( ) =(x4)2+7 =(x4)225 =(x+4)2+7 =(x+4)225 答案 B y? x28x9? x28x+16169? (x4)225,故選 B. 3.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數 ,a≠ 0)經過點 (1,0),(0,3),其對稱軸在 y 軸右側 .有下列結論 : ① 拋物線經過點 (1,0)。 ② 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數根 。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結論的個數為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數 ,a≠ 0)經過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側 ,∴ 拋物線 不能經過點 (1,0),∴ ① 錯誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數 ,a≠ 0)經過點 (1,0),(0,3),其對稱軸 在 y軸右側 ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個交點 ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對稱軸在 y軸右側 ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba思路分析 拋物線經過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側 ,由對稱性可以判斷①錯誤 。由條件得拋物 線開口向下 ,作直線 y=2,直線與拋物線有兩個交點 ,可判斷②正確 。根據拋物線所經過的點及對 稱軸的位置 ,可判斷③正確 ,從而得結論 . 解后反思 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征 ,二次函數圖象與系數的關系 ,二次函數 與一元二次方程的關系 ,不等式的性質等知識 ,a的符號決定拋物線的開口方向 ,? 的符號決 定拋物線對稱軸的位置 ,c的值決定了拋物線與 y軸的交點坐標 . 2ba4.(2022四川南充 ,5,3分 )拋物線 y=x2+2x+3的對稱軸是 ? ( ) x=1 x=1 x=2 x=2 答案 B 拋物線的對稱軸為直線 x=? =? =1,故選 B. 2ba 225.(2022湖南長沙 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(ba0)與 x軸最多有一個交點 .現(xiàn)有以下四個 結論 : ① 該拋物線的對稱軸在 y軸左側 。② 關于 x的方程 ax2+bx+c+2=0無實數根 。③ ab+c≥ 0。④ ? 的最小值為 3. 其中 ,正確結論的個數為 ? ( ) abcba???答案 D ∵ ba0,∴ ? 0,∴ ① 正確 。 ∵ 拋物線與 x軸最多有一個交點 , ∴ b24ac≤ 0, ∴ 關于 x的方程 ax2+bx+c+2=0的判別式 Δ=b24a(c+2)=b24ac8a0,∴ ② 正確 。 ∵ a0,且拋物線與 x軸最多有一個交點 , ∴ y≥ 0,∴ 當 x=1時 ,ab+c≥ 0,∴ ③ 正確 。 ∵ y≥ 0,∴ 當 x=2時 ,4a2b+c≥ 0,即 a+b+c≥ 3b3a, 即 a+b+c≥ 3(ba), ∵ ba,∴ ba0, ∴ ? ≥ 3,∴ ④ 正確 .故選 D. 2baabcba???6.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=? x2+? x+6與 x軸交于點 A,點 B,與 y軸交于點 C,若 D為 AB的中 點 ,則 CD的長為 ( ) A.? B.? C.? D.? 16 32154 92132 152答案 D 由題意知 ,點 D是拋物線的對稱軸與 x軸的交點 ,所以點 D的坐標為 ? .對于 y=? x2 +? x+6,令 x=0,得 y=6,所以 C(0,6).所以 CD=? =? =? .故選 D. 9 ,02?????? 16322 29 0 (0 6)2??? ? ????? 2254 1527.(2022廣西南寧 ,10,3分 )如圖 ,已知經過原點的拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的對稱軸為直線 x=1. 下列結論中 :① ab0。② a+b+c0。③ 當 2x0時 ,y ? ( ) ? 答案 D 因為對稱軸為直線 x=? 0,所以 ab0,所以①正確 。當 x=1時 ,y=a+b+c0,所以②正 確 。由圖象可知拋物線與 x軸的交點坐標為 (2,0),(0,0),所以 2x0時 ,圖象在 x軸下方 ,即 y0,所 以③正確 .故選 D. 2ba8.(2022甘肅蘭州 ,18,4分 )如圖 ,若拋物線 y=ax2+bx+c上的 P(4,0),Q兩點關于它的對稱軸 x=1對稱 , 則 Q點的坐標為 . ? 答案 (2,0) 解析 P,Q兩點關于對稱軸 x=1對稱 ,則 P,Q兩點到對稱軸 x=1的距離相等 ,設點 Q的橫坐標為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點的坐標為 (2,0). 42 m?9.(2022寧夏 ,24,8分 )已知點 A(? ,3)在拋物線 y=? x2+? x上 ,設點 A關于拋物線對稱軸對稱的 點為 B. (1)求點 B的坐標 。 (2)求 ∠ AOB的度數 . 313 433解析 (1)解法一 :依題意 ,由對稱軸方程 x=? 得 ,x=2? ,(1分 ) ∵ 點 A、 B關于拋物線對稱軸 x=2? 對稱 , ∴ 由點 A(? ,3)知 ,點 B的坐標為 (3? ,3).? (2分 ) 解法二 :∵ 點 A、 B關于拋物線的對稱軸對稱 , ∴ 點 B也在拋物線上 , 當 y=3時 ,? x2+? x=3, 整理 ,得 x24? x+9=0,? (1分 ) 解得 x=3? 或 x=? , ∴ 點 B的坐標