【正文】 沖壓變形基礎(chǔ)理論目 錄 1 應(yīng)力應(yīng)變基本概念 1 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 1 點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài) 3 屈服準(zhǔn)則 4 各向同性屈服準(zhǔn)則 4 各向異性屈服準(zhǔn)則 7 材料模型簡(jiǎn)介 8 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 10 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則的相關(guān)性 10 各向同性流動(dòng)理論 10 各向異性流動(dòng)理論 11 面內(nèi)同性厚向異性薄板的平面應(yīng)力問(wèn)題 16 塑性變形的基本方程 22 板材失穩(wěn)理論 22 單向拉伸失穩(wěn)理論 23 載荷失穩(wěn) 23 變形失穩(wěn) 23 雙向拉伸失穩(wěn)理論 25 基本方程 25 平板雙拉的載荷失穩(wěn) 26 平板雙拉的集中性失穩(wěn) 27 理論成形極限圖 28 軸對(duì)稱薄板自由脹形解析 30 軸對(duì)稱薄板自由脹形的幾何和力學(xué)特點(diǎn) 30 軸對(duì)稱薄板自由脹形解析的理論基礎(chǔ) 31 主應(yīng)力之比與脹形輪廓之間的關(guān)系 33 薄板自由脹形的力學(xué)解析 35 圓錐形件拉深過(guò)程的能量法解析 40 軸對(duì)稱曲面件拉深過(guò)程的力學(xué)模型 40 接觸摩擦的簡(jiǎn)化處理 42 拉深力－行程曲線的能量法解析 43 板材拉深起皺失穩(wěn) 49 法蘭起皺失穩(wěn) 49 圓錐形件拉深的側(cè)壁起皺失穩(wěn) 6577塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料發(fā)生塑性變形，制備具有一定外形尺寸及組織性能產(chǎn)品的一種加工方法，外力是塑性加工的外因。在塑性理論中，分析問(wèn)題需要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)的角度來(lái)考慮問(wèn)題。靜力學(xué)角度是從變形體中質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力分析出發(fā)，根據(jù)靜力平衡條件到處應(yīng)力平衡微分方程。幾何學(xué)角度是根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性假設(shè)，用幾何的方法導(dǎo)出小變形幾何方程。物理學(xué)角度是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和基本假設(shè)導(dǎo)出變形體的應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系式，即本構(gòu)方程。還要建立變形體由彈性進(jìn)入塑性的力學(xué)條件，即屈服準(zhǔn)則。在研究板材成形時(shí)，不可能用各向同性塑性理論加以描述。關(guān)于每個(gè)物質(zhì)單元體保持各向同性的假定只是一種近似，隨著變形的發(fā)展這種近似要變得不好了。各個(gè)晶粒在最大拉應(yīng)變的方向上要伸長(zhǎng)，因而試件的組織呈纖維狀。于是，滑移過(guò)程的后果就使單晶體在變形時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，使它們趨向于一定的方位，這個(gè)方位表征著特定的應(yīng)變路徑。例如，當(dāng)六角形的單晶體受拉力而伸長(zhǎng)時(shí)，底平面逐漸轉(zhuǎn)向平行于加載方向的位置。同樣，多晶體的顆粒有一種轉(zhuǎn)向某一極限方位的趨勢(shì)（由于晶粒間的相互相束，不一定等同于單晶體的方位）；因此，在兩塊有潤(rùn)滑的平板間受擠壓的面心立方金屬中，其面對(duì)角線將趨向與壓縮方向平行。通過(guò)這樣的機(jī)構(gòu)，開始時(shí)由于隨機(jī)的晶粒方位而顯示各向同性的金屬，在塑性變形過(guò)程中變成各向異性。因此，各晶粒間方位的分布(例如，可按百分比作為量度的基礎(chǔ))，有一個(gè)或幾個(gè)最大值。如果這樣的一個(gè)最大值是很明確的，我們常稱之為擇優(yōu)方位。如果單個(gè)晶體的方位不是隨機(jī)分布，那末，屈服應(yīng)力和宏觀應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將隨著方向而改變。例如，經(jīng)過(guò)強(qiáng)烈冷軋過(guò)的黃銅，正交于軋制方向的拉伸屈服應(yīng)力要比平行于軋制方向者大10％。在經(jīng)過(guò)一些精密的機(jī)械和熱處理工序，使得多晶體最終產(chǎn)生一種接近于單晶體的再結(jié)晶結(jié)構(gòu)（例如，可以通過(guò)輥軋銅片，使立方軸為平行于銅片邊緣的品粒，占據(jù)不同的份量），從而得到更大的變化。隨著有限元數(shù)值分析技術(shù)的不斷進(jìn)步以及計(jì)算機(jī)內(nèi)存和速度的不斷提高，用數(shù)值模擬的方法求解復(fù)雜的塑性成形問(wèn)題已經(jīng)成為可能。一些商業(yè)軟件（如ANSYS等）已將經(jīng)典的R. Hill各向異性塑性理論納入其求解器之中，為研究各向異性性質(zhì)對(duì)板材成形過(guò)程的影響，獲得更精確的板材成形模擬結(jié)果提供了有效的手段。因此，了解、掌握各向異性塑性理論又顯現(xiàn)出了重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值；發(fā)展、完善各向異性塑性理論又顯現(xiàn)出了重要的理論意義。 應(yīng)力應(yīng)變基本概念 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在外力作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間就會(huì)產(chǎn)生相互作用的力，叫做應(yīng)力。通過(guò)一點(diǎn)的微分面，有無(wú)限多個(gè)，在不同微分面的法線方向應(yīng)力不同，為了確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，需要任意三個(gè)相互垂直的微分面的應(yīng)力表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)微分面的應(yīng)力需要九個(gè)分量去描述，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要六個(gè)獨(dú)立的分量去描述。這樣一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)分量構(gòu)成了張量，張量存在不變量，張量含有三個(gè)主方向和三個(gè)主值。為了研究一點(diǎn)的P處的應(yīng)力狀態(tài)，需要三個(gè)相互垂直的微分面，用三個(gè)微分面上的應(yīng)力表示點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)，這一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)如圖31所示。 圖31 三個(gè)微分面上的應(yīng)力分布如果表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量已知，則過(guò)該點(diǎn)的斜微分面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都將隨外法線的方向余弦、的變化而變化，任意斜切微分面的應(yīng)力如圖32所示。圖32 任意斜切微分面的應(yīng)力當(dāng)、在某一組合情況下，斜微分面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力重合，而切應(yīng)力。這種切應(yīng)力為零的微分面稱為主平面、主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力。主平面的法線方向，也就是主應(yīng)力方向，叫做應(yīng)力主方向或應(yīng)力主軸。與分析斜微分面上的正應(yīng)力一樣，切應(yīng)力也隨斜微分面的方位變化而改變。切應(yīng)力達(dá)到極值的平面稱為主切應(yīng)力平面，其面上作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。在主軸坐標(biāo)系下，主切應(yīng)力平面如圖33所示。 (a) (b) (c)圖33 主切應(yīng)力平面取八面體切應(yīng)力絕對(duì)值的倍所得之參量稱為等效應(yīng)力，即應(yīng)力強(qiáng)度。 （31）在一定的外力條件下，受力物體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已被確定，如果取不同的坐標(biāo)系，則表示該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量將有不同的數(shù)值，而該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并沒(méi)有變化。因此，在不同的坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間應(yīng)該存在下式的關(guān)系。 （；） （32）因此，表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成一個(gè)二階張量。 點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)為了描述一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，在空間選取三個(gè)相互垂直的線素，線素的伸長(zhǎng)或縮短表示正應(yīng)變，線素間夾角的變化表示切應(yīng)變，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)三個(gè)相互垂直線素方向上的九個(gè)應(yīng)變分量，可以確定過(guò)該點(diǎn)應(yīng)任意方向的應(yīng)變分量，這點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)就確定了，其詳細(xì)確定方法與一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同。過(guò)變形體內(nèi)一點(diǎn)存在有三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主方向，該方向上線元沒(méi)有切應(yīng)變，只有線應(yīng)變，稱為主應(yīng)變。與主應(yīng)變方向成45度的方向上存在三對(duì)各自相互垂直的線元，它們的切應(yīng)變有極值，稱之為主切應(yīng)變。取八面體切應(yīng)變絕對(duì)值的倍所得之參量稱為等效應(yīng)變，即應(yīng)變強(qiáng)度。 （33）一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以用過(guò)該點(diǎn)三個(gè)相互正交方向上的九個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。如果當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后在新坐標(biāo)系下的九個(gè)應(yīng)變分量與原坐標(biāo)系中的九個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系也符合數(shù)學(xué)上張量的定義，即下面的線性關(guān)系 （，=1,2,3；，=1,2,3） （34）所以一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是張量，且為二階張量。 屈服準(zhǔn)則 各向同性屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是有關(guān)金屬?gòu)椥詷O限狀態(tài)的一種假說(shuō)。金屬由彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃危饕Q于以下兩方面的因素。1）在一定的變形條件（變形溫度與變形速度）下金屬的物理機(jī)械性質(zhì)；2）金屬所處的應(yīng)力狀態(tài)。第一種因素是轉(zhuǎn)變的根據(jù)，第二種因素是轉(zhuǎn)變的條件。對(duì)于一定的材料，在一定的變形溫度與變形速度下，屈服完全取決于金屬所處的應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力分量的組合滿足某一函數(shù)關(guān)系 （35） 時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)所構(gòu)成的外部條件，與金屬屈服時(shí)的內(nèi)在因素恰好相符，金屬即從彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃巍７匠蹋?6）稱為屈服條件或屈服準(zhǔn)則，而其所代表的空間曲面為屈服表面。上述規(guī)律的探索，除了從金屬的微觀世界尋求物理上的根據(jù)外，主要依靠實(shí)驗(yàn)和在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的邏輯推斷，因而產(chǎn)生了有關(guān)屈服準(zhǔn)則的各種假說(shuō)，然而經(jīng)過(guò)實(shí)踐考驗(yàn)，獲得公認(rèn)的只有兩種，————常數(shù)形變能量理論。——最大剪應(yīng)力理論1864年，Tresca在金屬的擠壓試驗(yàn)中，觀察到金屬塑性流動(dòng)的痕跡與最大剪應(yīng)力的方向一致，提出了最大剪應(yīng)力理論。1870年SaintVenant將此理論作了進(jìn)一步發(fā)展，提出了這一理論的數(shù)學(xué)表達(dá)方法。最大剪應(yīng)力理論可以表述如下：在一定的變形條件下，金屬的塑性變形只有當(dāng)物體內(nèi)的最大剪應(yīng)力達(dá)到一定值時(shí)才有可能發(fā)生，這個(gè)數(shù)值視物體的種類而定，與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。假設(shè)任一負(fù)責(zé)應(yīng)力狀態(tài)，如果主應(yīng)力的大小次序尚未確定，則微元體內(nèi)可能發(fā)生的最大剪應(yīng)力不外是 （36）在這三對(duì)主剪應(yīng)力中，無(wú)論何者最先達(dá)到某一定值，材料即開始屈服。但是，因?yàn)樗鼈兊拇鷶?shù)和必須為零，所以同時(shí)達(dá)到此某一定值的主剪應(yīng)力至多只能有兩個(gè)（符號(hào)相反，絕對(duì)值相等），而第三個(gè)主剪應(yīng)力必定為零。 又因?yàn)榍?zhǔn)則與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，確定此定值，可以利用一種最簡(jiǎn)單的應(yīng)力狀態(tài)，例如，通過(guò)單向拉伸。單向拉伸時(shí)，拉應(yīng)力（為材料的單向拉伸屈服應(yīng)力），金屬即開始屈服。這時(shí)，最大剪應(yīng)力 （37）因此，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要三對(duì)主剪應(yīng)力中，任何一個(gè)、至多兩個(gè)的數(shù)值等于，金屬即開始屈服，于是最大剪應(yīng)力理論乃可用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下 （38）用主應(yīng)力表示，可以寫作 （39） 最大剪應(yīng)力理論雖然可以很簡(jiǎn)單地表述金屬的屈服條件，但在實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)力分量是未知的，難以確切判斷其大小次序，因而也就難以從以上三式中作出正確的抉擇，給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了困難。能否用一個(gè)統(tǒng)一的連續(xù)函數(shù)將以上三式加以概括？當(dāng)然，這種概括是否正確，最終還必須通過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)。1913年，Mises從純粹數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)Tresca準(zhǔn)則提出了一個(gè)修正。他以主剪應(yīng)力為坐標(biāo)軸，將式（39）表示為一個(gè)正六面體，此六面體各棱邊邊長(zhǎng)為，其重心恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖34所示。 圖34 主剪應(yīng)力等于常數(shù)的幾何圖形因?yàn)槿齻€(gè)主剪應(yīng)力之和必須滿足，該式代表通過(guò)原點(diǎn)與三個(gè)坐標(biāo)軸成等傾角的平面。此平面與正六面體的交線為一正六邊形，頂點(diǎn)A、B、C、D、E、F恰為正六邊形中六條棱邊的中點(diǎn)（圖34）。滿足Tresca準(zhǔn)則的應(yīng)力狀態(tài)，其三個(gè)主剪應(yīng)力都在這六條邊上。換言之，此六邊形即代表Tresca準(zhǔn)則的圖形。極易看出：此正六邊形的邊長(zhǎng)為。Mises提出：為了數(shù)學(xué)運(yùn)算的方便，可用一連續(xù)曲線來(lái)代替這一正六邊形。此連續(xù)曲線即正六邊形的外接圓，其方程為 (310)式（311）中，第一式代表圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓球，第二式為通過(guò)原點(diǎn)與坐標(biāo)軸成等傾角的平面，式（311）為它們的交線。將主剪應(yīng)力用主應(yīng)力表示，式（311）變?yōu)? (311)Mises對(duì)Tresca準(zhǔn)則作出以上修正的同時(shí)指出：當(dāng)前（指1913年以前）對(duì)Tresca準(zhǔn)則的試驗(yàn)驗(yàn)證，還只限于正六邊形的六個(gè)角點(diǎn)，其余應(yīng)力狀態(tài)究竟如何尚待驗(yàn)證。雖然如此，他仍然認(rèn)為Tresca準(zhǔn)則是準(zhǔn)確的而他的修正則是近似的。后來(lái)許多人的試驗(yàn)卻證明：Mises準(zhǔn)則更加接近韌性材料的實(shí)際情況。1924年，：材料開始屈服時(shí)所吸收的彈性形變能為一常數(shù)。這就是所謂常數(shù)形變能量理論。即常數(shù)1937年，A. Nadai對(duì)Mises準(zhǔn)則作了另一解釋：材料開始屈服時(shí)其八面體剪應(yīng)力為一常數(shù)。即常數(shù)Mises準(zhǔn)則的另一常用表述形式為：材料進(jìn)入屈服時(shí)，等效應(yīng)力等于單向拉伸屈服應(yīng)力。即 (312)。這一理論，將復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)與單向拉伸這種簡(jiǎn)單的應(yīng)力狀態(tài)直接聯(lián)系了起來(lái)。等效應(yīng)力既可作為各種應(yīng)力狀態(tài)的一種可比指標(biāo)，又可將其理解為材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下塑性變形的變形抵抗力。這就給我們研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系提供了很大的便利。 各向異性屈服準(zhǔn)則為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮每一點(diǎn)上具有三個(gè)互相垂直的對(duì)稱平面的各向異性體；這些平面的交線叫做各向異性體的主軸。在整個(gè)試件中，這些軸的方向可能變動(dòng)；例如，如果一個(gè)圓管在內(nèi)壓力下均勻膨脹而發(fā)展出各向異性，那么，三根主軸必須位在經(jīng)向、周向和軸向上。從冷軋薄板中心處切出的金屬條則是一個(gè)方向均勻的各向異性體；它和預(yù)期的一樣，三根主軸是位于軋制方向，薄板平面內(nèi)的橫斷面方向以及垂直于薄板平面的方向，即厚度方向。在一給定的單元體中的主軸，在繼續(xù)變形的過(guò)程中亦會(huì)產(chǎn)生相對(duì)于單元體本身的變動(dòng)，如在簡(jiǎn)單剪切的情形。 考慮某一具有三個(gè)相互垂直的各向異性狀態(tài)主軸的特殊單元體，并取各向異性主軸為直角坐標(biāo)軸。對(duì)各向同性材料來(lái)說(shuō)，Mises準(zhǔn)則是能夠近似地描述屈服的。因此，對(duì)各向異性材科來(lái)說(shuō)，最簡(jiǎn)單的屈服準(zhǔn)則應(yīng)當(dāng)在各向異性程度趨于零時(shí)歸轉(zhuǎn)為Mises準(zhǔn)則。因此，如果假定屈服準(zhǔn)則是應(yīng)力分量的二次式，則必須有以下形式： (313)其中F，G，H，L，M，N是瞬時(shí)各向異性狀態(tài)的特征參量。因?yàn)?，正如各向同性塑性理論一樣，假定沒(méi)有Bauschinger效應(yīng)，所以不包含一次項(xiàng)。由于對(duì)稱的要求，任何剪應(yīng)力出現(xiàn)為線性的二次項(xiàng)也都被去除。最后，如果假定迭加靜水應(yīng)力不會(huì)影響屈服，則只有正應(yīng)力分量的差才會(huì)出現(xiàn)。應(yīng)當(dāng)注意，只有當(dāng)各向異性主軸是參考坐標(biāo)軸時(shí)，屈服準(zhǔn)則才具有這種形式；否則，此形式要改變，其改變方式可以從轉(zhuǎn)換應(yīng)力分量得到。 如果X，Y，Z是在各向異性的主方向上的單向拉伸屈服應(yīng)力，則不難證明