【正文】 沖壓變形基礎(chǔ)理論目 錄 1 應(yīng)力應(yīng)變基本概念 1 點的應(yīng)力狀態(tài) 1 點應(yīng)變狀態(tài) 3 屈服準(zhǔn)則 4 各向同性屈服準(zhǔn)則 4 各向異性屈服準(zhǔn)則 7 材料模型簡介 8 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 10 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則的相關(guān)性 10 各向同性流動理論 10 各向異性流動理論 11 面內(nèi)同性厚向異性薄板的平面應(yīng)力問題 16 塑性變形的基本方程 22 板材失穩(wěn)理論 22 單向拉伸失穩(wěn)理論 23 載荷失穩(wěn) 23 變形失穩(wěn) 23 雙向拉伸失穩(wěn)理論 25 基本方程 25 平板雙拉的載荷失穩(wěn) 26 平板雙拉的集中性失穩(wěn) 27 理論成形極限圖 28 軸對稱薄板自由脹形解析 30 軸對稱薄板自由脹形的幾何和力學(xué)特點 30 軸對稱薄板自由脹形解析的理論基礎(chǔ) 31 主應(yīng)力之比與脹形輪廓之間的關(guān)系 33 薄板自由脹形的力學(xué)解析 35 圓錐形件拉深過程的能量法解析 40 軸對稱曲面件拉深過程的力學(xué)模型 40 接觸摩擦的簡化處理 42 拉深力－行程曲線的能量法解析 43 板材拉深起皺失穩(wěn) 49 法蘭起皺失穩(wěn) 49 圓錐形件拉深的側(cè)壁起皺失穩(wěn) 6577塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料發(fā)生塑性變形，制備具有一定外形尺寸及組織性能產(chǎn)品的一種加工方法，外力是塑性加工的外因。在塑性理論中，分析問題需要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)的角度來考慮問題。靜力學(xué)角度是從變形體中質(zhì)點的應(yīng)力分析出發(fā)，根據(jù)靜力平衡條件到處應(yīng)力平衡微分方程。幾何學(xué)角度是根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性假設(shè)，用幾何的方法導(dǎo)出小變形幾何方程。物理學(xué)角度是根據(jù)實驗和基本假設(shè)導(dǎo)出變形體的應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系式，即本構(gòu)方程。還要建立變形體由彈性進入塑性的力學(xué)條件，即屈服準(zhǔn)則。在研究板材成形時，不可能用各向同性塑性理論加以描述。關(guān)于每個物質(zhì)單元體保持各向同性的假定只是一種近似，隨著變形的發(fā)展這種近似要變得不好了。各個晶粒在最大拉應(yīng)變的方向上要伸長，因而試件的組織呈纖維狀。于是，滑移過程的后果就使單晶體在變形時發(fā)生轉(zhuǎn)動，使它們趨向于一定的方位，這個方位表征著特定的應(yīng)變路徑。例如，當(dāng)六角形的單晶體受拉力而伸長時，底平面逐漸轉(zhuǎn)向平行于加載方向的位置。同樣，多晶體的顆粒有一種轉(zhuǎn)向某一極限方位的趨勢（由于晶粒間的相互相束，不一定等同于單晶體的方位）；因此，在兩塊有潤滑的平板間受擠壓的面心立方金屬中，其面對角線將趨向與壓縮方向平行。通過這樣的機構(gòu)，開始時由于隨機的晶粒方位而顯示各向同性的金屬，在塑性變形過程中變成各向異性。因此，各晶粒間方位的分布(例如，可按百分比作為量度的基礎(chǔ))，有一個或幾個最大值。如果這樣的一個最大值是很明確的，我們常稱之為擇優(yōu)方位。如果單個晶體的方位不是隨機分布，那末，屈服應(yīng)力和宏觀應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將隨著方向而改變。例如，經(jīng)過強烈冷軋過的黃銅，正交于軋制方向的拉伸屈服應(yīng)力要比平行于軋制方向者大10％。在經(jīng)過一些精密的機械和熱處理工序，使得多晶體最終產(chǎn)生一種接近于單晶體的再結(jié)晶結(jié)構(gòu)（例如，可以通過輥軋銅片，使立方軸為平行于銅片邊緣的品粒，占據(jù)不同的份量），從而得到更大的變化。隨著有限元數(shù)值分析技術(shù)的不斷進步以及計算機內(nèi)存和速度的不斷提高，用數(shù)值模擬的方法求解復(fù)雜的塑性成形問題已經(jīng)成為可能。一些商業(yè)軟件（如ANSYS等）已將經(jīng)典的R. Hill各向異性塑性理論納入其求解器之中，為研究各向異性性質(zhì)對板材成形過程的影響，獲得更精確的板材成形模擬結(jié)果提供了有效的手段。因此，了解、掌握各向異性塑性理論又顯現(xiàn)出了重要的實際應(yīng)用價值；發(fā)展、完善各向異性塑性理論又顯現(xiàn)出了重要的理論意義。 應(yīng)力應(yīng)變基本概念 點的應(yīng)力狀態(tài)在外力作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點之間就會產(chǎn)生相互作用的力，叫做應(yīng)力。通過一點的微分面，有無限多個，在不同微分面的法線方向應(yīng)力不同，為了確定一點的應(yīng)力狀態(tài)，需要任意三個相互垂直的微分面的應(yīng)力表示一點的應(yīng)力狀態(tài)。三個微分面的應(yīng)力需要九個分量去描述，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，點的應(yīng)力狀態(tài)需要六個獨立的分量去描述。這樣一點的應(yīng)力狀態(tài)的九個分量構(gòu)成了張量，張量存在不變量，張量含有三個主方向和三個主值。為了研究一點的P處的應(yīng)力狀態(tài)，需要三個相互垂直的微分面，用三個微分面上的應(yīng)力表示點P的應(yīng)力狀態(tài)，這一點P的應(yīng)力狀態(tài)如圖31所示。 圖31 三個微分面上的應(yīng)力分布如果表示一點的應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量已知，則過該點的斜微分面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都將隨外法線的方向余弦、的變化而變化，任意斜切微分面的應(yīng)力如圖32所示。圖32 任意斜切微分面的應(yīng)力當(dāng)、在某一組合情況下，斜微分面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力重合，而切應(yīng)力。這種切應(yīng)力為零的微分面稱為主平面、主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力。主平面的法線方向，也就是主應(yīng)力方向，叫做應(yīng)力主方向或應(yīng)力主軸。與分析斜微分面上的正應(yīng)力一樣，切應(yīng)力也隨斜微分面的方位變化而改變。切應(yīng)力達到極值的平面稱為主切應(yīng)力平面，其面上作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。在主軸坐標(biāo)系下，主切應(yīng)力平面如圖33所示。 (a) (b) (c)圖33 主切應(yīng)力平面取八面體切應(yīng)力絕對值的倍所得之參量稱為等效應(yīng)力，即應(yīng)力強度。 （31）在一定的外力條件下，受力物體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀態(tài)已被確定，如果取不同的坐標(biāo)系，則表示該點的應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量將有不同的數(shù)值，而該點的應(yīng)力狀態(tài)并沒有變化。因此，在不同的坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間應(yīng)該存在下式的關(guān)系。 （；） （32）因此，表示點應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量構(gòu)成一個二階張量。 點應(yīng)變狀態(tài)為了描述一點的應(yīng)變狀態(tài)，在空間選取三個相互垂直的線素，線素的伸長或縮短表示正應(yīng)變，線素間夾角的變化表示切應(yīng)變，根據(jù)質(zhì)點三個相互垂直線素方向上的九個應(yīng)變分量，可以確定過該點應(yīng)任意方向的應(yīng)變分量，這點的應(yīng)變狀態(tài)就確定了，其詳細確定方法與一點的應(yīng)力狀態(tài)相同。過變形體內(nèi)一點存在有三個相互垂直的應(yīng)變主方向，該方向上線元沒有切應(yīng)變，只有線應(yīng)變，稱為主應(yīng)變。與主應(yīng)變方向成45度的方向上存在三對各自相互垂直的線元，它們的切應(yīng)變有極值，稱之為主切應(yīng)變。取八面體切應(yīng)變絕對值的倍所得之參量稱為等效應(yīng)變，即應(yīng)變強度。 （33）一點的應(yīng)變狀態(tài)可以用過該點三個相互正交方向上的九個應(yīng)變分量來表示。如果當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后在新坐標(biāo)系下的九個應(yīng)變分量與原坐標(biāo)系中的九個應(yīng)變分量之間的關(guān)系也符合數(shù)學(xué)上張量的定義，即下面的線性關(guān)系 （，=1,2,3；，=1,2,3） （34）所以一點的應(yīng)變狀態(tài)是張量，且為二階張量。 屈服準(zhǔn)則 各向同性屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是有關(guān)金屬彈性極限狀態(tài)的一種假說。金屬由彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃?，主要取決于以下兩方面的因素。1）在一定的變形條件（變形溫度與變形速度）下金屬的物理機械性質(zhì)；2）金屬所處的應(yīng)力狀態(tài)。第一種因素是轉(zhuǎn)變的根據(jù)，第二種因素是轉(zhuǎn)變的條件。對于一定的材料，在一定的變形溫度與變形速度下，屈服完全取決于金屬所處的應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力分量的組合滿足某一函數(shù)關(guān)系 （35） 時，應(yīng)力狀態(tài)所構(gòu)成的外部條件，與金屬屈服時的內(nèi)在因素恰好相符，金屬即從彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃?。方程?6）稱為屈服條件或屈服準(zhǔn)則，而其所代表的空間曲面為屈服表面。上述規(guī)律的探索，除了從金屬的微觀世界尋求物理上的根據(jù)外，主要依靠實驗和在實驗基礎(chǔ)上的邏輯推斷，因而產(chǎn)生了有關(guān)屈服準(zhǔn)則的各種假說，然而經(jīng)過實踐考驗，獲得公認的只有兩種，————常數(shù)形變能量理論?！畲蠹魬?yīng)力理論1864年，Tresca在金屬的擠壓試驗中，觀察到金屬塑性流動的痕跡與最大剪應(yīng)力的方向一致，提出了最大剪應(yīng)力理論。1870年SaintVenant將此理論作了進一步發(fā)展，提出了這一理論的數(shù)學(xué)表達方法。最大剪應(yīng)力理論可以表述如下：在一定的變形條件下，金屬的塑性變形只有當(dāng)物體內(nèi)的最大剪應(yīng)力達到一定值時才有可能發(fā)生，這個數(shù)值視物體的種類而定，與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。假設(shè)任一負責(zé)應(yīng)力狀態(tài)，如果主應(yīng)力的大小次序尚未確定，則微元體內(nèi)可能發(fā)生的最大剪應(yīng)力不外是 （36）在這三對主剪應(yīng)力中，無論何者最先達到某一定值，材料即開始屈服。但是，因為它們的代數(shù)和必須為零，所以同時達到此某一定值的主剪應(yīng)力至多只能有兩個（符號相反，絕對值相等），而第三個主剪應(yīng)力必定為零。 又因為屈服準(zhǔn)則與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，確定此定值，可以利用一種最簡單的應(yīng)力狀態(tài)，例如，通過單向拉伸。單向拉伸時，拉應(yīng)力（為材料的單向拉伸屈服應(yīng)力），金屬即開始屈服。這時，最大剪應(yīng)力 （37）因此，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要三對主剪應(yīng)力中，任何一個、至多兩個的數(shù)值等于，金屬即開始屈服，于是最大剪應(yīng)力理論乃可用數(shù)學(xué)公式表達如下 （38）用主應(yīng)力表示，可以寫作 （39） 最大剪應(yīng)力理論雖然可以很簡單地表述金屬的屈服條件，但在實際問題中，應(yīng)力分量是未知的，難以確切判斷其大小次序，因而也就難以從以上三式中作出正確的抉擇，給實際應(yīng)用帶來了困難。能否用一個統(tǒng)一的連續(xù)函數(shù)將以上三式加以概括？當(dāng)然，這種概括是否正確，最終還必須通過實踐的檢驗。1913年，Mises從純粹數(shù)學(xué)的觀點出發(fā)，對Tresca準(zhǔn)則提出了一個修正。他以主剪應(yīng)力為坐標(biāo)軸，將式（39）表示為一個正六面體，此六面體各棱邊邊長為，其重心恰為坐標(biāo)原點，如圖34所示。 圖34 主剪應(yīng)力等于常數(shù)的幾何圖形因為三個主剪應(yīng)力之和必須滿足，該式代表通過原點與三個坐標(biāo)軸成等傾角的平面。此平面與正六面體的交線為一正六邊形，頂點A、B、C、D、E、F恰為正六邊形中六條棱邊的中點（圖34）。滿足Tresca準(zhǔn)則的應(yīng)力狀態(tài)，其三個主剪應(yīng)力都在這六條邊上。換言之，此六邊形即代表Tresca準(zhǔn)則的圖形。極易看出：此正六邊形的邊長為。Mises提出：為了數(shù)學(xué)運算的方便，可用一連續(xù)曲線來代替這一正六邊形。此連續(xù)曲線即正六邊形的外接圓，其方程為 (310)式（311）中，第一式代表圓心為原點，半徑為的圓球，第二式為通過原點與坐標(biāo)軸成等傾角的平面，式（311）為它們的交線。將主剪應(yīng)力用主應(yīng)力表示，式（311）變?yōu)? (311)Mises對Tresca準(zhǔn)則作出以上修正的同時指出：當(dāng)前（指1913年以前）對Tresca準(zhǔn)則的試驗驗證，還只限于正六邊形的六個角點，其余應(yīng)力狀態(tài)究竟如何尚待驗證。雖然如此，他仍然認為Tresca準(zhǔn)則是準(zhǔn)確的而他的修正則是近似的。后來許多人的試驗卻證明：Mises準(zhǔn)則更加接近韌性材料的實際情況。1924年，：材料開始屈服時所吸收的彈性形變能為一常數(shù)。這就是所謂常數(shù)形變能量理論。即常數(shù)1937年，A. Nadai對Mises準(zhǔn)則作了另一解釋：材料開始屈服時其八面體剪應(yīng)力為一常數(shù)。即常數(shù)Mises準(zhǔn)則的另一常用表述形式為：材料進入屈服時，等效應(yīng)力等于單向拉伸屈服應(yīng)力。即 (312)。這一理論，將復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)與單向拉伸這種簡單的應(yīng)力狀態(tài)直接聯(lián)系了起來。等效應(yīng)力既可作為各種應(yīng)力狀態(tài)的一種可比指標(biāo)，又可將其理解為材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下塑性變形的變形抵抗力。這就給我們研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系提供了很大的便利。 各向異性屈服準(zhǔn)則為簡單起見，只考慮每一點上具有三個互相垂直的對稱平面的各向異性體；這些平面的交線叫做各向異性體的主軸。在整個試件中，這些軸的方向可能變動；例如，如果一個圓管在內(nèi)壓力下均勻膨脹而發(fā)展出各向異性，那么，三根主軸必須位在經(jīng)向、周向和軸向上。從冷軋薄板中心處切出的金屬條則是一個方向均勻的各向異性體；它和預(yù)期的一樣，三根主軸是位于軋制方向，薄板平面內(nèi)的橫斷面方向以及垂直于薄板平面的方向，即厚度方向。在一給定的單元體中的主軸，在繼續(xù)變形的過程中亦會產(chǎn)生相對于單元體本身的變動，如在簡單剪切的情形。 考慮某一具有三個相互垂直的各向異性狀態(tài)主軸的特殊單元體，并取各向異性主軸為直角坐標(biāo)軸。對各向同性材料來說，Mises準(zhǔn)則是能夠近似地描述屈服的。因此，對各向異性材科來說，最簡單的屈服準(zhǔn)則應(yīng)當(dāng)在各向異性程度趨于零時歸轉(zhuǎn)為Mises準(zhǔn)則。因此，如果假定屈服準(zhǔn)則是應(yīng)力分量的二次式，則必須有以下形式： (313)其中F，G，H，L，M，N是瞬時各向異性狀態(tài)的特征參量。因為，正如各向同性塑性理論一樣，假定沒有Bauschinger效應(yīng)，所以不包含一次項。由于對稱的要求，任何剪應(yīng)力出現(xiàn)為線性的二次項也都被去除。最后，如果假定迭加靜水應(yīng)力不會影響屈服，則只有正應(yīng)力分量的差才會出現(xiàn)。應(yīng)當(dāng)注意，只有當(dāng)各向異性主軸是參考坐標(biāo)軸時，屈服準(zhǔn)則才具有這種形式；否則，此形式要改變，其改變方式可以從轉(zhuǎn)換應(yīng)力分量得到。 如果X，Y，Z是在各向異性的主方向上的單向拉伸屈服應(yīng)力，則不難證明