高中數(shù)學(xué)第二章241向量在幾何中的應(yīng)用(已修改)
2025-06-29 17:01 本頁(yè)面
【正文】 填一填 練一練 研一研 本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān) 2 . 4 .1 向量在幾何中的應(yīng)用 【學(xué)習(xí)要求】 1 ．經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題及其它一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程． 2 ．體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題的有力工具． 3 ．培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 【學(xué)法指導(dǎo)】 由于向量涉及共線(xiàn)、夾角、垂直、長(zhǎng)度等基本問(wèn)題，而這些問(wèn)題正是平面幾何研究的對(duì)象，因此可以用向量來(lái)處理平面幾何問(wèn)題． 用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的 “ 三步曲 ” ： ① 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； ② 通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系 ； ③ 把運(yùn)算結(jié)果 “ 翻譯 ” 成幾何關(guān)系 . 填一填 練一練 研一研 本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān) 填一填 知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn) 1 ．向量方法在幾何中的應(yīng)用 ( 1) 證明線(xiàn)段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行 ( 共線(xiàn) )的等價(jià)條件： a ∥ b ( b ≠ 0 ) ? ? . ( 2) 證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量 a ， b ， a ⊥ b ? ? . ( 3) 求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式 c os θ ＝ ＝ . ( 4) 求線(xiàn)段的長(zhǎng)度或證明線(xiàn)段相等，可以利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算、向量模的公式： | a |＝ . a＝ λb x 1 y 2－ x 2 y 1＝ 0 ab＝ 0 x 1 x 2＋ y 1 y 2＝ 0 ab|a||b| x1 x 2 ＋ y 1 y 2x 21 ＋ y 21 x 22 ＋ y 22 x2＋ y2 填一填 練一練 研一研 本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān) 填一填 知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn) 2 ．直線(xiàn)的方向向量和法向量 ( 1) 直線(xiàn) y ＝ kx ＋ b 的方向向量為 ，法向量 為 . ( 2) 直線(xiàn) Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的方向向量為 ，法向量為 . (1， k) (k，－ 1) (B，－ A) (A， B) 填一填 練一練 研一研 本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān) 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 探究點(diǎn)一 直線(xiàn)的方向向量與兩直線(xiàn)的夾角 ( 1) 直線(xiàn) y ＝ kx ＋ b 的方向向量：如果向量 v 與直線(xiàn) l 共線(xiàn)，則稱(chēng)向量 v 為直線(xiàn) l 的方向向量． 對(duì)于任意一條直線(xiàn) l ： y ＝ kx ＋ b ，在它上面任取兩點(diǎn) A ( x0， y0) ，B ( x ， y ) ，則向量 AB→＝ ( x － x0， y － y0) 與直線(xiàn) l 共線(xiàn)，即 AB→為直線(xiàn) l 的方向向量．由于 ( x － x0， y － y0) ＝1x － x0(1 ，y － y0x － x0) ＝1x － x0(1 ， k ) ，所以向量 ( x － x0， y － y0) 與向量 (1 ， k ) 共線(xiàn)，從而向量 (1 ， k ) 是直線(xiàn) y ＝ kx ＋ b 的一個(gè)方向向量． 填一填 練一練 研一研 本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān) 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 (2) 直線(xiàn) Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的方向向量 當(dāng) B ≠ 0 時(shí)， k ＝－AB，所以向量 ( B ，－ A ) 與 (1 ， k ) 共線(xiàn)，所以向量 ( B ，－ A ) 是直線(xiàn) Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的一個(gè)方向向量；當(dāng) B ＝ 0 時(shí)，A ≠ 0 ，直線(xiàn) x ＝－CA的一個(gè)方向向量為 (0 ，－ A ) ，即 ( B ，－ A ) ． 綜上所述，直線(xiàn) Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的一個(gè)方向向量為 v ＝ ( B ，－ A ) ． 例如：已知直線(xiàn) l ： 2 x － y ＋ 1 ＝ 0 ，在下列向量： ① v1＝ (1,2) ； ② v2＝ (2,1) ； ③ v3＝??????－12，－ 1 ； ④ v4＝ ( － 2 ，－ 4) ．其中能作為直線(xiàn) l 方向向量的有： ________ ①③④ 填一填 練一練 研一研 本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān) 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 ( 3) 應(yīng)用直線(xiàn)的方向向量求兩直線(xiàn)的夾角 已知直線(xiàn) l1： y ＝ k1x ＋ b1與直線(xiàn) l2： y ＝ k2x ＋ b2，它們的方向向量依次為 v1＝ (1 ， k1) ， v2＝ (1 ， k2) ． 當(dāng) v1⊥ v2
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1